Боковая сторона равна малому основанию, т.к. накрест лежащие углы при основаниях равны.
Периметр равен 22, малая сторона а, проекция боковой стороны на основание (22 - 4a)/2 = 11 - 2a
рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотой, проекцией боковой стороны на основание и для малинового - диагональю, для красного - боковой стороной.
Для малого
tg (β) = 3x/(11-2a)
Для большого
tg (2β) = 7x/(11-2a)
Разделим одно уравнение на другое
tg (2β)/tg (β) = (7x/(11-2a)) / (3x/(11-2a))
tg (2β)/tg (β) = 7/3
---
по формуле тангенса половинного угла
tg (2β) = 2*tg (β) / (1 - tg² (β))
---
2*tg (β) / (1 - tg² (β)) /tg (β) = 7/3
1 - tg² (β) = 6/7
tg² (β) = 1/7
tg (β) = 1/√7
tg (2β) = 2*tg (β) / (1 - tg² (β)) = 2/√7 / (1 - (1/√7)²) = 2/√7 * 7/6 = √7/3
---
выразим косинус двойного угла через тангенс β
cos (2β) = (1 - tg² (β)) / (1 + tg² (β)) = (1 - 1/7) / (1 + 1/7) = 6/7 / 8/7 = 3/4
Косинус двойного угла - это отношение проекции боковой стороны к боковой стороне
cos (2β) = (11-2a)/a = 3/4
44 - 8a = 3a
44 = 11a
a = 4
Это малое основание
Большое основание
b = 22 - 3*a = 22 - 12 = 10
Средняя линия
c = 1/2(a+b) = 1/2(4+10) = 7
Площадь прямоугольного треугольника найдём по формуле:
S=1/2*a*h , где a - основание, h - высота.
Мы имеем отношение 1:5 ⇒ пусть x - 1 катет, тогда, 5x - второй катет.
Т.к. треугольник прямоугольный, то один из катетов равен а, а другой h,
значит, пусть 1 катет = a ⇒ x=a, а 2 катет = h ⇒ 5x=h, значит:
1210ед²=1/2*x*5x - мы получили уравнение, давайте решим его:
1/2*x*5x=1210
5/2x²=1210
2,5x²=1210
x²=484
x=±√484, но, т.к. катет отрицательным быть не может - нас будет интересовать только положительный квадратный корень из 418, т.е. +√484
x=22
22 - 1 катет.
22*5=110 - 2 катет.
ответ: 22 и 110.
По желанию можно выполнить проверку.
1/2*22*110=1/2*2420=0,5*2420=1210
57 68 13 42
Объяснение: