Если провести через вершины треугольника прямые параллельно противоположным сторонам, то получится треугольник с вдвое большими сторонами, чем у исходного, для которого высоты исходного треугольника будут медиатриссами (перпендикулярами, проведенными к сторонам в их серединах). Очевидно, что медиатриссы пересекаются в одной точке - центре описанной окружности (для "удвоенного" треугольника). Замечание. Ясно, что эти треугольники гомотетичны с центром в точке пересечения медиан, и коэффициентом -2. Точка пересечения высот при этом "становится" центром описанной окружности.
11² = 8²+х²-2*8*х*(-0,4).
Получаем квадратное уравнение х²+6,4х-57 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=6.4^2-4*1*(-57)=40.96-4*(-57)=40.96-(-4*57)=40.96-(-228)=40.96+228=268.96;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√268.96-6.4)/(2*1)=(16.4-6.4)/2=10/2=5;x₂=(-√268.96-6.4)/(2*1)=(-16.4-6.4)/2=-22.8/2=-11.4 (отрицательный корень не принимаем).
Площадь треугольника находим по формуле Герона:
S =√(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(12(12-8)(12-5)(12-11)) = √(12*4*7*1) = 18,330303.
Здесь р - полупериметр, равный (8+5+11)/2= 12.
Медиану СМ находим по формуле:
СМ = m(c) = (1/2)√(2a²+2b²-c²) = (1/2)√(2*5²+2*11²-8²) = (1/2)√( 50 + 242 - 64) ≈ 7,549834.