V=(1/3)Sосн*h, (1/3)a^2*h=4, a^2*h=12, где а - сторона основания, h - высота пирамиды. Sбок=2da, 2da=8, da=4, где d - апофема пирамиды. Расстояние от веришины основания пирамиды - это перпендикуляр, проведенный к противоположной боковой грани. Заменим его на перпендикуляр из прямой, проведенной через эту вершину, параллельной боковой грани - это будет сторона основания. И удобнее всего провести этот перпендикуляр из середины стороны основания - это будет перпендикуляр к апофеме. Тогда две апофемы противоположных граней и отрезок, соединяющий их концы - образуют равнобедренный треугольник. Его площадь равна: с одной стороны (1/2)a*h, с другой стороны (1/2)x*d, где x - искомое расстояние. Значит, a*h=x*d. Унас есть два равенства: a^2*h=12 и d*a=4. Разделим первое на второе, после сокращения получим (a*h)/d = 3. Откуда: a*h = 3*d. Сравним с последним выделенным равенством. Ясно, что x=3 - это и есть искомое расстояние
Во-первых, определимся с расстоянием h от вершины основания до противоположной боковой грани. Оно (h) равно расстоянию от середины стороны основания до апофемы А (апофема - высота боковой грани).
Обозначим а - длину стороны основания, Н - высоту пирамиды, α - угол между апофемой и основанием, β - угол между высотой пирамиды и апофмой.
Объём пирамиды V = 1/3 H·a² = 4, откуда
Н = 12/а² (1)
Площадь боковой поверхности: Sбок = 4·0,5А·а = 8, откуда
А = 4/а (2)
Теперь рассмотрим два прямоугольных тр-ка:
В 1-м тр-ке гипотенуза А, катет Н лежит против угла α, катет 0,5а лежит против угла β.
Во 2-м тр-ке гипотенуза а, катет h лежит против угла α, а угол между катетом h и гипотенузой а, равен углу между гипотенузой А и катетом Н 1-го тр-ка, т.к. это острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами, т.е. угол между катетом h и гипотенузой а равен β.
Рассматриваемые прямоугольные тр-ки подобны по двум равным углам.
Против равных углов лежат пропорциональные стороны:
А : а = Н : h
Подставим в эту пропорцию Н из (1) и А из (2):
4/а : а = 12/а² : h
1/а² = 3/(а²·h)
Откуда h = 3·а²/а²
h = 3.
ответ: расстояние равно 3 см.