Question

ЕСЛИ НЕ ЗНАЕТЕ НЕ ПИШИТЕ, БУДУ ЖАЛОВАТЬСЯ У квадрат вписано коло, а в ко­ло вписано рівносторонній три­кутник. Знайдіть відношення сторін трикутника і квадрата
Сторона правильного п-кутника до­рівнює а, радіус описано­го ко­ла R. Знайдіть радіус вписаного кола.

Answer 1

1)

Пусть X сторона треугольника, a Y сторона квадрата, тогда

Диаметр вписанной окружности = Y

Если треугольник равносторонний, то его углы равны 60°

По теореме синусов :

$\frac{X}{sin60} = Y\\\\\frac{X}{Y} = sin60 = \frac{\sqrt{3} }{2}$

ответ : √3/2

2)

Из цента n-угольника проведем отрезок к одной из его вершин и высоту к его стороне, которая прилегает к данной вершине.

У нас получился прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна радиусу описанной окружности и равна R, нижний катет равен половине стороны, на которую спирается и равен a/2, а другой катет как раз  равен радиусу вписанной окружности, найдем его по теореме Пифагора :

$r = \sqrt{R^2-(\frac{a}{2})^2 } =\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4} } =\sqrt{\frac{4R^2-a^2}{4} } = \frac{1}{2} \sqrt{4R^2-a^2}$