Известно, что медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью. Поэтому S тр-ка BCD = S тр-ка ACD . Площадь треугольника можно определить по формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними. Значит: (1/2) BC*CD*sin BCD = (1/2) AC*CD*sin ACD. Делим обе части на (1/2)*CD^
BC*sin BCD = AC* sin ACD. Делим обе части на sin ACD*BC^
sin BCD/sin ACD = AC/BC. Так как АС>BC, то и sin BCD > sin ACD. Оба эти угла острые, т.е. значение синуса тем больше, чем больше угол. Отсюда угол BCD> угла ACD
Дано:
АВСД-прямоугольная трапеция
угол СДА=60*
АД=20см
СД=20см
Найти:
ВС-?
1)проведем отрезок АС
2)Рассмотрим треугольник АСД:
СД=20см,АД=20см следовательно,треугольник АСД-равнобедренный.Следовательно,угол ДАС=углуАСД(свойство равнобедренного треугольника)
3)угол ДАС+угол АСД=180*- угол СД=120см,угол ДАС=углу АСД=60* следовательно,треугольник АСД-равносторонний.АС=20см.
4) Рассмотрим треугольник ВАС:
угол САВ=90*-60*=30*.ВС-катет лежащий напротив угла 30*следовательно он равен половине гипотенузе т.е. 20/2=10(ВС)
ответ:ВС=10см
Для простоты записи обозначим углы, на которые медиана разделила угол С так:
уг. ДСА = уг.1, уг.ДСВ =уг.2
Также обозначим уг.ВДС = уг.α, тогда уг.АДС = 180° - α и АД=ВД =а.
Рассмотрим тр-к ВДС.
По теореме синусов: sinα : BC = sin уг.1 : а, откуда
sin уг.1 = sinα · а : BC
Рассмотрим тр-к АДС.
По теореме синусов: sin(180°-α) : АC = sin уг.2 : а,
или sinα : АC = sin уг.2 : а, откуда
sin уг.2 = sinα · а : АC
Сравним синусы углов 1 т 2. Поскольку по условию АС > ВС, то sin уг.2 < sin уг.1
и, следовательно,
уг.2 < уг.1
ответ: угол АСД (уг.2), примыкающий к стороне АС меньше угла ВСД (уг.1), примыкающему к стороне ВС