1) Зависимость площади боковой поверхности S от образующей L;
Косинус половины угла при вершине по теореме косинусов:
cos(α/2) = (R² + L² - R²)/(2RL) = L/2R.
Отсюда синус равен: sin(α/2) = √(1 - (L²/4R²).
Радиус r основания конуса равен:
r = Lsin(α/2) = L√(1 - (L²/4R²).
Тогда S = πrL = πL√(1 - (L²/4R²)L = πL²√(1 - (L²/4R²).
2) Зависимость площади боковой поверхности S от угла α при вершине конуса в его осевом сечении.
Пусть основание конуса ниже центра шара.
Угол φ между радиусами R шара и основания r конуса равен:
φ = 90° - 2(α/2) = 90° - α.
r = Rcosφ = Rcos(90 - α) = Rsin α.
Образующая L равна:
L = r/sin (α/2) = Rsin α/sin(α/2) = R*2sin(α/2)cos(α/2)/sin(α/2) = 2Rcos(α/2).
Тогда S = πrL = πRsin α2Rcos(α/2) = 2πR²sin α*cos(α/2).
3) Зависимость площади боковой поверхности S от угла B при основании конуса.
Аналогично с пунктом 2) S = 2πR²sin 2β*sinβ.
1) Наименьшая диагональ на рис. это АС.
Рассмотрим для начала ΔАВС, он рабнобедренный, угол А=углу С=(180-120)/2=30.
Тогда угол САF будет равен 90(120-30).
Теперь рассмотрим ΔАВО он равностороний. Значит большаяя диагональ равна двум сторонам.
Рассмотрим ΔАСF он прямоугольный. По теореме Пифагора:
CF²=AC²+AF², т. к. CF тоже наибольшая диагональ, то CF=2AF
4AF²=AC²+AF²
3AF²=AC²
AF=AC/√3
AF=5 см
CF=2*5=10(см)
2) Пусть площадь будет S, тогда
S=(3√3AB²)/2
AB=AF
AB=5
S=(3√3*25)/2=37,5√3 см²
ответ: наибольшая диагональ равна 10 см; площадь 37,5√3 см².
а)64 градуса
b)175 градусов
в)34 градуса
г)105 градусов