Question

1) Докажите что сумма двух векторов не зависит от выбора точки от которой откладывается первый вектор. 2)Сформулируйте переместительный и сочетательный законы сложение векторов.

Answer 1

1) Чтобы доказать, что сумма двух векторов не зависит от выбора точки отсчета, мы можем использовать геометрический метод и алгебраический метод.

Геометрический метод:
Представим два вектора, например, в виде стрелок на плоскости. Пусть у нас есть вектор AB и вектор BC, которые мы хотим сложить. Мы можем начать отсчет от разных точек A и C. Пусть точка M будет такой, что AM = AC.

Теперь мы можем отложить вектор AM и вектор MB. Затем продолжим вектор MB до точки P, чтобы сформировать вектор PC.

Таким образом, мы получаем два способа представления вектора AB:
AB = AM + MB
AB = AC + CP

Заметим, что PC является вектором, противоположным вектору MB, или вектором с противоположным направлением и той же длиной.

Теперь мы можем сравнить два способа представления вектора AB:
AM + MB = AC + CP

Учитывая, что PC = -MB, мы можем переписать вышеуказанное равенство:
AM + MB = AC - MB

Теперь мы видим, что векторы MB и -MB сокращают друг друга. Таким образом, AM и AC равны друг другу:
AM = AC

Из этого следует, что сумма векторов AB не зависит от выбора точки отсчета.

Алгебраический метод:
Давайте представим, что у нас есть точка O, от которой мы откладываем первый вектор. Пусть у нас будет вектор A и вектор B.

Одна из аксиом алгебры векторов гласит, что сумма векторов A и B может быть представлена как векторная сумма AB = OA + OB.

Теперь допустим, что у нас есть другая точка O', от которой мы откладываем вектор A. Из аксиомы следует, что сумма векторов A и B также может быть записана как AB' = O'A + OB'.

Мы хотим показать, что AB = AB'.

Наши предположения говорят нам, что OA = O'A и OB = OB'. Таким образом, мы можем записать AB = AB'.

Таким образом, мы доказали, что сумма двух векторов не зависит от выбора точки отсчета.

2) Переместительный закон сложения векторов гласит:
Для любых векторов A, B и C справедливо, что (A + B) + C = A + (B + C).

Этот закон показывает, что порядок, в котором мы складываем векторы, не важен. Мы можем сначала сложить A и B, а затем добавить C, или мы можем сначала сложить B и C, а затем добавить A. Результат будет одинаковым.

Сочетательный закон сложения векторов гласит:
Для любых векторов A и B справедливо, что A + B = B + A.

Этот закон говорит нам, что порядок, в котором мы складываем векторы, не влияет на результат. Мы можем сначала сложить A и B, или мы можем сначала сложить B и A, в любом случае результат будет такой же.