321. Сфера з цэнтрам у пункце О датыкаецца да плоскасці а у пункце Т, а пункт F ляжыць у плоскасці а і знаходзіцца ад пунктаў TiO адпаведна на адлегласці 6 см і 10 см. Вылічыце адлегласць ад цэнтра сферы да плоскасці а.
В правильной треугольной пирамиде DABC боковые ребра DA,DB и DC взаимно перпендикулярны. Вершина D является центром сферы , на поверхности которой лежат точки A,B, и C. Найдите площадь сферы, если ее высота равна 2√3 см. ------- Понятно, что 2√3 см - высота пирамиды, т.к. у сферы нет высоты. ------------- Боковые ребра пирамиды взаимно перпендикулярны, вершины ∆ АВС лежат на поверхности сферы, D- ее центр, следовательно, все ребра данной пирамиды равны радиусу R сферы, и боковые грани - равнобедренные прямоугольные треугольники/ Боковые ребра пирамиды равны, ⇒ равны их проекции на плоскость треугольника АВС, ⇒ основание О высоты DО лежит в центре описанной вокруг ∆ АВС окружности. Пусть стороны основания равны 2а. Высота DH боковой грани делит ее на два равнобедренных прямоугольных треугольника, является её медианой и равна половине стороны основания. DH=a ⇒ R сферы =AD АD = DС= a√2 как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника DHC. AO=2a /√3 как радиус описанной вокруг ∆ АВС окружности. AD²=OD²+AO² (a√2)²=(2√3)²+(2a/√3)² 2a²=12+(4a²/3) 6a²=36+4a² 2a²=36 AD²=36=R² Sсферы=4πR² S=4*36π=144π см²
Проверим прямоуголен ли данный треугольник по теореме Пифагора:
14*14 = 8*8 + 12*12
196 ≠ 208
Равенство неверное, значит он не прямоугольный
Чтобы узнать тупоугольный ли он, или остроугольный, можно воспользоваться теоремой косинусов
a^2=b^2+c^2 - 2*b*c*cosα
14*14 = 8*8 + 12*12 - 2*12*8*cos α
64+144 - 192*cos α = 196
-192 cos a = 196 - 66 -144 = - 14
cos α = 14/192
Косинус положительный, значит больший угол - острый
Отсюда, треугольник - остроугольный