На стороне АВ треугольника АВС отметили точку F так, что AFC = 100°. Известно, что центр вписанной окруж- ности треугольника AFC совпадает с центром описанной окружности треугольника АВС. Найдите углы треуголь- ника ABC.
Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания, то есть боковые грани пирамиды равны и наклонены относительно основания под одним углом. Сечение amb, площадь которого надо найти - равнобедренный треугольник с основанием ab и боковыми сторонами am и bm. Основание нам дано - это сторона основания пирамиды, равная 8. Боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Значит углы при вершинах граней равны 36°, равны и все углы при основании граней (180°-36°):2 = 72°. В треугольнике asm <asm=36°(дано), <sam=36°(как половина угла sac=72°) и <amb=(180°-72°)=108°. Углы ams и amc смежные. Тогда <amc=180°-108°=72° и значит треугольник amc равнобедренный и am=ac=8. Но am=bm, а ac=ab. Значит сечение - правильный треугольник и его площадь равна: Sabm = (√3/4)*a², где а - сторона треугольника. Итак, Sabm = (√3/4)*64 = 16√3.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть точка пересечения медиан будет О, а АМ=3х. АО:ОМ=2:1 Обозначим середины медиан АМ и СN точкамии К и Е соответственно. КЕ- расстояние между серединами медиан. КЕ║АС ( КЕ является частью средней линии ΔАNC и ΔАМС) АМ=3х АО=2х (точка пересечения медиан) АК=1,5х ( половина медианы) ОК=2х-1,5х=0,5х Треугольники ОАС и ОКЕ подобны по равным углам АО:КО=АС:КЕ 2х:0,5х=АС:КЕ 2 КЕ=0,5*16 КЕ=4 см ответ: расстояние между серединами медиан 4 см
Сечение amb, площадь которого надо найти - равнобедренный треугольник с основанием ab и боковыми сторонами am и bm. Основание нам дано - это сторона основания пирамиды, равная 8. Боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Значит углы при вершинах граней равны 36°, равны и все углы при основании граней (180°-36°):2 = 72°.
В треугольнике asm <asm=36°(дано), <sam=36°(как половина угла sac=72°) и <amb=(180°-72°)=108°. Углы ams и amc смежные. Тогда <amc=180°-108°=72° и значит треугольник amc равнобедренный и am=ac=8. Но am=bm, а ac=ab. Значит сечение - правильный треугольник и его площадь равна:
Sabm = (√3/4)*a², где а - сторона треугольника.
Итак, Sabm = (√3/4)*64 = 16√3.