Question

5. Высота прямоугольного треугольника с острым углом а, проведенная к гипотенузе, равна һ. Докажите, что
h
гипотенуза треугольника равна
h/sin a cos a​

Answer 1

Чтобы доказать это утверждение, мы воспользуемся знаниями о свойствах прямоугольных треугольников и тригонометрии. Давайте начнем.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где угол BAC равен а. Проведем высоту AD к гипотенузе BC и обозначим длину этой высоты как h.
Также обозначим длину гипотенузы BC как c и длины катетов AB и AC как b и a соответственно.

Первым шагом мы заметим, что AD является биссектрисой угла BAC. Почему это так?
Объяснение: В прямоугольном треугольнике AD является высотой, а значит, оно перпендикулярно к BC. В силу свойств прямоугольных треугольников, AD также является биссектрисой угла BAC.

Теперь докажем, что h = c * sin a * cos a.
Для начала рассмотрим треугольник ABD. На основании этого треугольника и тригонометрического соотношения sin a = h / b, мы можем выразить b через h и sin a: b = h / sin a.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Используя тригонометрическое соотношение cos a = h / c, мы можем выразить с через h и cos a: c = h / cos a.

Заметим, что h = c * sin a * cos a, используя эти выражения для b и c:
h = (h / cos a) * sin a * cos a.

Здесь sin a и cos a сокращаются, оставляя h = h, что является верным равенством.

Таким образом, мы доказали, что h = c * sin a * cos a, что и требовалось доказать.

В результате, мы установили, что высота прямоугольного треугольника с острым углом а, проведенная к гипотенузе, равна h, а гипотенуза треугольника равна h / sin a cos a.

Я надеюсь, что это решение было достаточно подробным и понятным для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.