Напишите уравнение окружности, проходящей через точки
A (-3; 0) и B (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.
Объяснение:
Если центр лежит на оси ординат, то координаты центра О(0 ;у₀).
Тогда уравнение окружности (x – х₀)²+ (y – у₀)² = R² примет вид :
(x – 0)²+ (y – у₀)² = R² или х ²+ (y – у₀)² = R² . Т.к. точки А и В принадлежат окружности, то координаты точек удовлетворяют уравнению окружности
Получили систему.
{ (-3)²+ (0 – у₀)² = R² ,{ 9+ у₀² = R²
|{ 0²+ (9 – у₀)² = R² ,|{ (9 – у₀)² = R², приравняем левые части
9+ у₀²= (9 – у₀)² → 9+ у₀²= 81 –18у₀+ у₀² , 18у₀=72 , у₀=4 .
Найдем R : 9+ 4² = R² , R²=25 , учитывая , что R>0 , получаем R=5.
Координаты центра О(0;4) , R=5 → x ²+ (y –4)² = 5²
Если в равнобедренной трапеции провести высоты ВН и СК, то получим НВСК - прямоугольник (ВС║КН, так как основания трапеции параллельны, ВН║СК как перпендикуляры к одной прямой), тогда
ВС = КН и ВН = СК.
ΔАВН = ΔDCK по гипотенузе и катету (АВ = CD, так как трапеция равнобедренная, ВН = СК), тогда
АН = DK = (AD - KH)/2 = (AD - BC)/2.
Площадь трапеции:
Sabcd = (AD + BC)/2 · BH
Воспользуемся этими выводами для решения задач:
а) AH = DK = (17 - 11)/2 = 3 см
ΔАВН прямоугольный с гипотенузой, равной 5 см и катетом 3 см, значит он египетский и
ВН = 4 см.
Sabcd = (17 + 11)/2 · 4 = 28/2 · 4 = 14 · 4 = 56 см²
б) AH = DK = (8 - 2)/2 = 3 см
ΔABH: ∠AHB = 90°, ∠BAH = 60°, ⇒ ∠ABH = 30°.
AB = 2AH = 6 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°,
по теореме Пифагора:
BH = √(AB² - AH²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3 см
Sabcd = (8 + 2)/2 · 3√3 = 15√3 см²