Искомый угол - <MOP, так как плоскость PBD перпендикулярна обеим пересекающимся плоскостям АРС и АМС (АС и BD - взаимно перпендикулярны, как диагонали квадрата). Проведем МК перпендикулярно к РО. Треугольники МРК и ВРО подобны с коэффициентом подобия 2:5 (дано). Диагональ квадрата равна а√2, где а - сторона квадрата. Тогда ВО=(1/2)*15√2*√2 = 15, а МК=6. По Пифагору РО=√(ВР²-ВО²)=√(25²-15²)=20. Тогда РК=2*РО/5=8, а ОК=РО-РК=20-8=12. Тангенс угла МОР равен отношению противолежащего катета МК к прилежащему ОК в прямоугольном треугольнике ОМК (угол МКО=90°). то есть tg(<MOP)=6/12=1/2. ответ: искомый угол равен arctg(1/2) или <MOP≈27°, а точнее 26°33'.
Пусть K - точка пересечения AM и BN. Для решения задачи достаточно найти BK. 1) Если предположить, что автор знаком с теоремой Чевы, а так же - с теоремой Ван-Обеля, то если продолжить CK до пересечения с AB в точке P, то AP/PB = AN/NC = 2/3; поскольку BM - медиана, BM/MC = 1; то есть BP/PA = 3/2; Отсюда BK/KN = 3/2 + 1 = 5/2; то есть BK = n*5/7; 2) В том случае, если теорема Чевы неизвестна, задача тоже легко решается. Если провести NQ II CB; точка Q лежит на AM, то из подобия треугольников ANQ и ACM следует NQ/CM = 2/5; треугольники QKN и MKB тоже подобны, и MB = CM; отсюда NK/BK = NQ/MB = 2/5; то есть BK = n*5/7; ( а NK = n*2/7, само собой)
Ясно, что площадь ABC равна удвоенной площади AMB, то есть равна S = BK*AM = m*n*5/7;
Проведем МК перпендикулярно к РО. Треугольники МРК и ВРО подобны с коэффициентом подобия 2:5 (дано). Диагональ квадрата равна а√2, где а - сторона квадрата.
Тогда ВО=(1/2)*15√2*√2 = 15, а МК=6.
По Пифагору РО=√(ВР²-ВО²)=√(25²-15²)=20. Тогда РК=2*РО/5=8,
а ОК=РО-РК=20-8=12.
Тангенс угла МОР равен отношению противолежащего катета МК к прилежащему ОК в прямоугольном треугольнике ОМК (угол МКО=90°). то есть tg(<MOP)=6/12=1/2.
ответ: искомый угол равен arctg(1/2) или <MOP≈27°, а точнее 26°33'.