Примем длину ребра куба равной 70 (для кратности между 14 и 5).
Так как точки М и N, принадлежат плоскости АВС, которая параллельна заданной плоскости А1В1С1, то угол между плоскостями MNK и A1B1C1 равен углу между плоскостями MNK и ABC.
Помести куб в систему координат точкой А в начало,ребром АД по оси Ох, ребром АВ по оси Оу.
В соответствии с заданием определим координаты точек.
А(0; 0; 0), В(0; 70; 0), С(70; 70; 0). Уравнение АВС: z = 0.
M(35; 0; 0), N(0; 5; 0), K(0; 0; 14).
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Уравнение плоскости определяется из выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек в данное выражение и сократив на 35, получаем уравнение плоскости MNК: 2x + 14y + 5z - 70 = 0.
Угол между плоскостями определяем через его косинус:
cos α = |A₁·A₂ + B₁·B₂ + C₁·C₂|
√(A₁² + B₁² + C₁²)*√(A₂² + B₂² + C₂²) = 1/3.
α = arc cos(1/3) = 1,23096 радиан или 70,529 градуса.
Дано: ΔАВС подобен ΔKMN,
∠В = ∠М, ∠С = ∠N,
АС = 3 см, АВ = 3,5 см, ∠А = 30°, СЕ - биссектриса ΔАВС,
KN = 6 см, MN = 4 см
Найти:
а) ВС;
б) ∠К;
в) Sabc / Skmn;
г) АЕ и ВЕ.
б) ∠В = ∠М, ∠С = ∠N, ⇒ ∠К = ∠А = 30°.
а) В подобных треугольниках напротив равных углов лежат сходственные стороны. Тогда верно отношение:
ВС : MN = АС : KN = 3 / 6 = 1/2
k = 1/2
BC = 1/2 MN = 1/2 · 4 = 2 см
в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
Sabc / Skmn = k² = 1/4
г) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
AE : BE = CA : CB
Пусть АЕ = х, тогда ВЕ = 3,5 - х
x : (3,5 - x) = 3 : 2
2x = 3(3,5 - x)
2x = 10,5 - 3x
5x = 10,5
x = 2,1
АЕ = 2,1 см
ВЕ = 3,5 - 2,1 = 1,4 см
вектор АК=вектор АВ+вектор ВК
вектор АК=вектор АС+вектор СК
где К середина отрезка ВС
вектор ВК+вектор СК=0 - так как векторы равные по длине, и противоположно направлены
Далее отсюда
вектор АК+вектор АК=вектор АВ+вектор ВК+вектор АС+вектор СК
или вектор АК=(вектор АВ+вектор АС):2
так как медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся на отрезки в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника, то
вектор МА=-2/3 *(вектор МВ+вектор МС):2=-1/3(вектор МВ+вектор МС)
Аналогично получаем
вектор МВ=-1/3(вектор МА+вектор МС)
вектор МС=-1/3(вектор МА+вектор МВ)
отсюда
вектор МА+вектор МВ-вектор МС=-1/3(вектор МВ+вектор МС)-1/3(вектор МА+вектор МС)+1/3(вектор МА+вектор МВ)=1/3(вектор МВ+вектор МС-вектор МА-векторМС+вектор МА+вектор МВ)=2/3векторМВ
где-то в условии ошибка