Дано уравнение кривой: 5x² - 4y² + 30x + 8y + 21 = 0. Выделяем полные квадраты: 5(х + 3)² - 4(у² - 1)² = 20. Делим обе части уравнения на 20 и получаем каноническое уравнение гиперболы: ((х + 3)²/(2²)) - ((у² - 1)²/(√5)²) = 1. Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке: C(-3; 1) и полуосями: а = 2 и b = √5. Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами Определим параметр c: c² = a² + b² = 4 + 5 = 9. c = 3. Тогда эксцентриситет будет равен: ε = с/а = 3/2.
Асимптотами гиперболы будут прямые: у - 1 = (√5/2)(х + 3) и у - 1 = -(√5/2)(х + 3). Директрисами гиперболы будут прямые: х + 3 = а/ε , х + 3 = +-(2/(3/2)). х + 3 = +-(4/3).
График и таблица координат точек для его построения приведены в приложении.
Сторона ав ромба abcd равна альфа, один из углов равен 60 градусов. через сторону ав проведена плоскость альфа на расстоянии альфа делённая на два от точки d. а) найдите расстояние от точки с до плоскости альфа. б) покажите на рисунке линейный угол двугранного угла dabm, м принадлежит альфа. в) найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа.решение: ab||cd||ij, dj||ci, т.к. это перпендикуляры к одной плоскости, значит cdji – параллелограмм, значит dj=ci = альфа/2.выберем такую точку е на прямой ав, что ie и ce перпендикулярны ав. тогда угол cei – искомый угол между плоскостями ромба и альфа. из прямоугольного cib получим: bi = sqrt(cb^2-ci^2) = sqrt(3/4альфа)из прямоугольного ceb: ce = cb*sin(60граусов) = альфа*sqrt(3)/2. значит из прямоугольного cie получим sin cei = ci/ce = альфа*2/(2*альфа*sqrt(3)) = 1/sqrt(3), значит угол cei = arcsin(1/sqrt(3))ab||cd||ij, dj||ci, т.к. это перпендикуляры к одной плоскости, значит cdji – параллелограмм, значит dj=ci = альфа/2.выберем такую точку е на прямой ав, что ie и ce перпендикулярны ав. тогда угол cei – искомый угол между плоскостями ромба и альфа. из прямоугольного cib получим: bi = sqrt(cb^2-ci^2) = sqrt(3/4альфа)из прямоугольного ceb: ce = cb*sin(60граусов) = альфа*sqrt(3)/2. значит из прямоугольного cie получим sin cei = ci/ce = альфа*2/(2*альфа*sqrt(3)) = 1/sqrt(3), значит угол cei = arcsin(1/sqrt(3))
5x² - 4y² + 30x + 8y + 21 = 0.
Выделяем полные квадраты:
5(х + 3)² - 4(у² - 1)² = 20.
Делим обе части уравнения на 20 и получаем каноническое уравнение гиперболы:
((х + 3)²/(2²)) - ((у² - 1)²/(√5)²) = 1.
Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:
C(-3; 1) и полуосями: а = 2 и b = √5.
Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами
Определим параметр c: c² = a² + b² = 4 + 5 = 9.
c = 3.
Тогда эксцентриситет будет равен: ε = с/а = 3/2.
Асимптотами гиперболы будут прямые:
у - 1 = (√5/2)(х + 3) и у - 1 = -(√5/2)(х + 3).
Директрисами гиперболы будут прямые:
х + 3 = а/ε ,
х + 3 = +-(2/(3/2)).
х + 3 = +-(4/3).
График и таблица координат точек для его построения приведены в приложении.