Диагональ A1C правильной призмы ABCDA1B1C1D1 образует с плоскостью основания угол, равный 45°. Найдите угол между прямой A1C и плоскостью ADD1. С рисунком
В треугольнике ABC DN - средняя линия по определению. Значит, по свойству средней линии ND параллельна AB.Отсюда следует параллельность ND и KB,так как KB = 1/2 AB. Имеем также, что ND = 1/2*AB = 1/2*10 = 5 (см). Так как по условию задачи точка K - середина отрезка AB, то KB = 1/2*10 = 5 (см). Аналогично рассуждая,доказываем, что КD - средняя линия треугольника ABC,что KD параллельна NB, что KD = 1/2*BC = 5 (см) и что BN = 5 см. Рассмотрим четырехугольник KBND. В нём ND параллельна KB и KD параллельна BN (по ранее доказанному). Также мы имеем, что NB = KD = 5 см и что KB = DN = 5 см. Значит, по определению данный четырехугольник - параллелограмм. А следуя из того, что NB = KD = KB = DN = 5 см, то получаем, что KBND - ромб. Найдем периметр данной фигуры. P = 5*4 = 20 (см). ответ: ромб; 20 см
Сначала найдем точку пересечения диагоналей параллелограмма, зная, что в этой точке диагонали делятся пополам. Координаты середины отрезка AС найдем по формуле: x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2, z = (z1 + z2)/2. В нашем случае Хо=(Хa+Xc )/2=(2+4 )/2=3, Yо=(Ya+Yc )/2=(3+1 )/2=2, Zо=(Za+Zc )/2=(2+0 )/2=1. Итак, мы имеем точку пересечения диагоналей параллелограмма О(3;2;1). Теперь по этой же формуле найдем координаты вершины D параллелограмма. (Xb+Xd)/2=Xo, отсюда Xd=2*Xo+Xb=2*3+0=6, аналогично. Yd=2*Yo+Yb=2*2+2=6 и Zd=2*Zo+Zb=2*1+4=6. Имеем точку D(6;6;6) Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала BD{Xd-Xb;Yd-Yb;Zd-Zb} или BD{6;4;2} Длина вектора BD, или его модуль, находится по формуле: |BD|=√(X²+Y²+Z²) = √(6²+4²+2²) =√56 = 2√14. ответ: длина диагонали BD равна 2√14.
Правильная призма - в основании правильный многоугольник, боковые ребра перпендикулярны основанию.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией.
AA1⊥(ABC) => ∠A1CA=45 (по условию)
DD1⊥(ABC) => DD1⊥CD
CD⊥DD1, CD⊥AD => CD⊥(ADD1)
∠CA1D - искомый угол
Пусть AD=CD=1, тогда AC=√2 (диагональ квадрата)
AA1=AC=√2 (△A1CA - прямоугольный с углом 45 - равнобедренный)
A1D =√(AA1^2+AD^2) =√3 (△AA1D, т Пифагора)
tg(CA1D) =CD/A1D =1/√3 => ∠CA1D=30°