ответ: ∠AOB=135°
S(AOB)=2.5
Объяснение:
AB= 5 (AB² =AC²+BC² ; 3²+4²=5²)
Пусть N -точка касания окружности катета АС, М- точка касания катета СВ, а L - гипотенузы АВ.
Пусть LA=NA=x => CN=CM=3-x => BM=BL=4-(3-x)=1+x
=> AB=LA+BL=1+x+x=5
2x=4 => x=2 => NO =CM=NC=1 ( O- центр вписанной окружности)
По т Пифагора AO= \sqrt{AN^2+NO^2} =\sqrt{5}
Аналогично ВО =\sqrt{BM^2+MO^2} =\sqrt{9+1} =\sqrt{10}
Применим т косинусов к треугольнику АОB
AB²= AO²+BO²-2AO*BO*cos AOB
25=10+5-2*√10*√5*cosAOB => -2√50*cos AOB=10
cos AOB= -1/√2 => ∠AOB=135°
S(AOB)= 0.5*AB*LO= 0.5*5*1=2.5
Щоб знайти рівняння кола, описаного навколо трикутника ABC, нам потрібно знайти центр кола і його радіус.
Крок 1: Знайдіть середні координати точок A(3; 6), B(1; -6) і C(8; 1), це буде координати центру кола.
Середні координати (x₀, y₀) можна обчислити за формулами:
x₀ = (x₁ + x₂ + x₃) / 3
y₀ = (y₁ + y₂ + y₃) / 3
Де (x₁, y₁), (x₂, y₂) і (x₃, y₃) - координати вершин трикутника ABC.
(x₀, y₀) = [(3 + 1 + 8) / 3, (6 - 6 + 1) / 3]
= [12 / 3, 1 / 3]
= [4, 1/3]
Тому центр кола має координати (4, 1/3).
Крок 2: Знайдіть радіус кола, використовуючи будь-яку з вершин трикутника та координати центру кола.
Візьмемо точку A(3; 6) як приклад. Відстань між центром кола і точкою A буде радіусом кола.
Радіус кола (r) можна обчислити за формулою:
r = √((x - x₀)² + (y - y₀)²)
де (x, y) - координати точки A(3; 6), (x₀, y₀) - координати центру кола.
r = √((3 - 4)² + (6 - 1/3)²)
= √((-1)² + (19/3)²)
= √(1 + 361/9)
= √(370/9)
= √(370)/√(9)
= √(370)/3
Тому радіус кола дорівнює √(370)/3.
Таким чином, рівняння кола, описаного навколо трикутника ABC, має вигляд:
(x - 4)² + (y - 1/3)² = (√(370)/3)²