Через точку М(1; —3) и начало координат О(0; 0) проводим прямую.
Вектор ОМ равен (1; -3).
Угловой коэффициент прямой ОМ равен -3/1 = -3.
Уравнение ОМ: у = -3х.
Точка пересечения этой прямой с заданными покажет взаимное положение точек М и О.
Подставим вместо "у" в каждое уравнение значение (-3х).
1) 2х—(-3х) + 5 = 0; 5х = -5, х= -1, значит, точки М и О справа, по одну сторону.
2) х —3*(-3х)у—5 = 0; 10х = 5, х=5 /10, значит, точки М и О по разные стороны.
3) 3х+2* (-3х)—1 = 0; -3х = 1, х= -1/3, значит, точки М и О справа, по одну сторону.
4) х—3*(-3х) + 2 = 0; 10х = -2 , х= -1/5, значит, точки М и О справа, по одну сторону.
5) 10х + 24*(-3х)+15 = 0. -62х = -15, х= 15/62 значит, точки М и О по разные стороны.
Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат начала и конца отрезка. Следовательно,
1). Xd=(Xa+Xb)/2 => Xa=2*Xd - Xb => Xa= -2-8= -10.
Yd=(Ya+Yb)/2 => Ya=2*Yd - Yb => Ya= 14-5= 9. Точка А(-10;9)
2). Xb=2*Xd - Xa => Xb=8-3=5. Yb=2*Yd - Ya => Yb= -4-0= -4. Точка B(5;-4).
Параллелограмм - четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны. В данном нам четырехугольнике сторона АВ=√((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²)=√((-7-2)²+(0-(-5))²)=√(81+25)=√106.
CD=√((Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²)=√((3-(-6))²+(-4-1)²)=√(81+25)=√106.
Итак, противоположные стороны АВ и CD равны. Условие параллельности векторов: координаты векторов должны быть пропрпциональны, то есть их отношение должно быть равно. В нашем случае вектора АВ и CD имеют координаты: АВ{-9;5}, a CD{9;-5}. Xab/Xcd=Yab/Ycd= -1, то есть АВ параллельна CD.
Таким образом, четырехугольник АBCD - параллелограмм, что и требовалось доказать.