Задание: Решите следующие задачи: 1. В основании пирамиды – квадрат со стороной 7 см. Найти объем пирамиды, если ее высота 10 см.
2. В основаниях усеченной пирамиды правильные треугольники со сторонами 2 и 6. Определите
высоту этой пирамиды, если ее объём равен 52. ответ: 12.
3. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если все боковые ребра наклонены к
плоскости основания под углом 45, а медиана основания равна 6. ответ: 144
В данном случае, у нас квадратное основание, поэтому площадь основания равна S = a^2, где a - сторона квадрата.
В задаче указано, что сторона квадрата равна 7 см, значит S = 7^2 = 49 см^2.
Также, в задаче указано, что высота пирамиды равна 10 см, значит h = 10 см.
Подставим значения в формулу объема пирамиды: V = (1/3) * 49 * 10 = 163.33 см^3 (округляем до двух десятичных знаков).
Ответ: объем пирамиды равен 163.33 см^3.
2. Для решения второй задачи, нам нужно найти высоту усеченной пирамиды. Также, в задаче указано, что объем пирамиды равен 52.
Формула для нахождения объема усеченной пирамиды: V = (1/3) * (S1 + S2 + sqrt(S1 * S2)) * h, где V - объем, S1 и S2 - площади оснований, h - высота пирамиды.
В данном случае, у нас правильные треугольники в основаниях, поэтому площади оснований равны S1 = (sqrt(3) / 4) * a1^2 и S2 = (sqrt(3) / 4) * a2^2, где a1 и a2 - стороны треугольников.
В задаче указано, что стороны треугольников равны 2 и 6, значит a1 = 2 и a2 = 6.
Подставим значения в формулу объема пирамиды: 52 = (1/3) * ((sqrt(3) / 4) * 2^2 + (sqrt(3) / 4) * 6^2 + sqrt((sqrt(3) / 4) * 2^2 * (sqrt(3) / 4) * 6^2)) * h.
Упростим формулу: 52 = (1/3) * ((sqrt(3) / 4) * 4 + (sqrt(3) / 4) * 36 + sqrt((3/4) * 4 * 9)) * h.
Рассчитываем: 52 = (1/3) * (sqrt(3) + 9sqrt(3) + sqrt(27)) * h.
52 = (1/3) * (10sqrt(3) + 3sqrt(3)) * h.
52 = (1/3) * (13sqrt(3)) * h.
Упрощаем: 52 = (13/3) * sqrt(3) * h.
Умножаем обе стороны на 3/13: 52 * (3/13) = sqrt(3) * h.
Упрощаем: 12 = sqrt(3) * h.
Возводим в квадрат обе стороны: 12^2 = (sqrt(3))^2 * h^2.
Упрощаем: 144 = 3 * h^2.
Решаем уравнение: h^2 = 144 / 3 = 48.
Извлекаем корень: h = sqrt(48) = sqrt(16 * 3) = 4sqrt(3).
Ответ: высота усеченной пирамиды равна 4sqrt(3) см.
3. Для решения третьей задачи, нам нужно найти объем правильной треугольной пирамиды. В задаче указано, что все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов, а медиана основания равна 6.
Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды: V = (1/3) * S * h, где V - объем, S - площадь основания, h - высота пирамиды.
В данном случае, у нас равносторонний треугольник в основании, поэтому площадь основания равна S = (sqrt(3) / 4) * a^2, где a - сторона треугольника.
В задаче указано, что медиана основания равна 6. Медиана в равностороннем треугольнике делит высоту на отношение 2/3. Значит, высота треугольника равна 6 * (3/2) = 9.
Также, указано, что боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Если мы проведем высоту треугольника, то получим два прямоугольных треугольника, у которых одно катет равен 6, а гипотенуза равна a (сторона треугольника). Так как угол между гипотенузой и катетом равен 45 градусов, то по теореме Пифагора, a = sqrt(2) * 6 = 6sqrt(2).
Теперь у нас есть значения стороны треугольника и высоты. Подставим их в формулу объема пирамиды: V = (1/3) * ((sqrt(3) / 4) * (6sqrt(2))^2) * 9.
Рассчитываем: V = (1/3) * ((sqrt(3) / 4) * 6^2 * (2 * sqrt(2))^2) * 9.
Упрощаем: V = (1/3) * ((sqrt(3) / 4) * 36 * 8) * 9.
Упрощаем: V = (1/3) * (12sqrt(2) * 9 * 9).
Упрощаем: V = (1/3) * 972sqrt(2).
Упрощаем: V = 324sqrt(2).
Ответ: объем правильной треугольной пирамиды равен 324sqrt(2) см^3.