Неожиданно очень простая задача.
Если на ВН, как на диаметре, построить окружность, то она пройдет через основания высот, опущенных из вершин А и С (на стороны ВС и АВ соответственно, пусть это АА1 и СС1, так вот, эта окружность проходит через А1 и С1). Связано это просто с тем, что треугольники ВНС1 и ВНА1 - прямоугольные.
Эта окружность является описанной для треугольника А1ВС1, и ВН - её диаметр.
Далее, легко видеть, что ВА1 = ВА*√3/2 и ВС1 = ВС*√3/2, поскольку угол АВС = 30 градусов.
Поэтому угол АВС общий у треугольников АВС и А1ВС1, и стороны этого угла в треугольниках пропорциональны, то есть треугольник А1ВС1 подобен треугольнику АВС (в частности, А1С1 = АС*√3/2).
Поскольку размеры треугольника АВС в 2/√3 раза больше размеров треугольника А1ВС1, во столько же раз больше и диаметр описанной окружности, то есть
ВН = 4 = (2*R)*√3/2 = R*√3, R = 4*√3/3
Я добавлю замечание, не большое такое.
Треугольник А1ВС1 подобен треугольнику АВС при любом угле АВС, а не только - когда он равен 30 градусам.
Пусть угол АВС = Ф.
В общем случае ВС1 = ВС*cos(Ф); BA1 = BA*cos(Ф), то есть угол АВС у треугольников общий, и стороны общего угла пропорциональны. Поэтому тр-ки АВС и А1ВС1 подобны, и коэффициент подобия равен cos(Ф).
Такой же пропорцией должны быть связаны диаметры описанных окружностей 2*R и ВН.
Получается соотношение, которое по форме почти точно воспроизводит теорему синусов :), только с заменой синуса на косинус.
BH = (2*R)*cos(Ф).
В данном случае cos(Ф) = √3/2 и ВН = R*√3.
Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция, боковая сторона которой равно 26 см, а основания равны 22 см и 42 см.
Площадь её диагонального сечения составляет 400 см²
. Вычислить площадь полной поверхности призмы.
----------------------------------------------------------------------------------
Площадь полной поверхности такой призмы равна сумме площадей двух ее оснований и площади боковой поверхности.
Боковая поверхность призмы составлена из прямоугольников, так как призма - прямая.
Площадь боковой поверхности вычисляется произведением периметра основания призмы на ее высоту.
Высоту призмы предстоит найти.
Площадь оснований призмы - площадь трапеции- вычисляется произведением высоты трапеции на полусумму ее оснований.
Высоту трапеции также нужно найти.
Рассмотрим второй рисунок приложения.
Опустим из вершины С к основанию трапеции высоту СН.
Так как трапеция равнобокая, сторона НD получившегося прямоугольного треугольника СНD равна полуразности оснований.
НD=(42-22):2=10 см
Из треугольника СНD по теореме Пифагора найдем высоту СН трапеции
АВСD.
Нет нужды приводить вычисления, которые может сделать каждый.
Высота равна 24см.
Так как высоту призмы нам предстоит найти из площади диагонального сечения, измерений которого мы пока не знаем, найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АСН диагоналль АС трапеции.
Найденная её длина -
АС= 40 см.
Высота h призмы равна частному от деления площади диагонального сечения на длину диагонали АС.
h=S:AC=400:40=10 см
Периметр основания призмы
Р=(42+22+26+26)=116 см
Площадь боковой поверхности
S бок=116·10=1160 см²
Площадь основания призмы
Sосн= 2*{(24·(42+22):2}=2*768=1536 см²
Площадь полной поверхности призмы
Sполн=S бок+Sосн=1160+1536= 2696 см²