Question

Катет ac прямоугольного треугольника abc (\c = 90± ) разбит точками d и e на три равные части. площадь треугольника bde равна 3. точка f – середина катета bc. найдите площадь треугольника abf

Answer 1

Треугольник АВС, уголС=90 Площадь ВДЕ=3
Медиана делит треугольник на равновеликие треугольники. Треугольник АВЕ, где ВД-медиана (АД=ДЕ), площадьВДЕ=площадьАВД=3, треугольникВДС, где ВЕ-медиана, площадьВДЕ=площадьВЕС=3, Площадь АВС=3+3+3=9
АФ-медиана треугольника АВС, площадьАФС=площадьАВФ =9/2=4,5

Answer 2

Можно так, по условию AD=DE=EC=x , и CF=FB=y
выразим площадь BED через синус и стороны BD и  ЕВ
По теореме  Пифагора 
$EB=\sqrt{x^2+4y^2}\\ DB=\sqrt{4x^2+4y^2}\\ \\$
синус угла между ними по теореме косинусов, затем переведем на синус получим 
$sinBDE=\sqrt{(1-(\frac{(x^2-5x^2-8y^2)}{-4\sqrt{((x^2+y^2)(x^2+4y^2)}})^2}=\\ S_{BED}=\sqrt{(x^2+y^2)*(x^2+4y^2)}*\sqrt{(1-(\frac{(x^2-5x^2-8y^2)}{-4\sqrt{((x^2+y^2)(x^2+4y^2)}})^2}=xy\\ xy=3\\$
то есть после упрощения получили такое соотношение , по свойству медиана  делить треугольник на два равновеликих треугольника 
$S_{AFC}=S_{ABF}\\ S_{AFC}=\frac{3x*\frac{3}{x}}{2}=4.5\\ S_{ABF}=4.5$