Початковий та середній рівні навчальних досягнень У завданнях 1-6 виберіть правильну відповідь.
1. Основи трапеції дорівнюють 3 см і 5 см, а площа 24 м. Знайдіть
площу квадрата, якщо його сторона дорівнює висоті трапеції.
А) 36 м 2; Б) 18 м 2; В) 24 2; Г) 9м 2.
2. Сторони трикутника дорівнюють 3 см і 4/3см, а кут між ни-
ми — 60°. Знайдіть висоту трикутника, проведену до сторони
довжиною 3 см. А) 3 см; Б) 6 см; В) 63 см; Г) 4 см.
3. Катети одного з рівнобедрених прямокутних трикутників
дорівнюють 4 см. Знайдіть гіпотенузу другого трикутника,
якщо його периметр дорівнює 4+ 2-/2 см.
А) 82 см; Б) 42 см; В) 8 см; Г) 22 см.
4. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 5 см і 15 см, а бічна сто-
рона — 10 см. Знайдіть кут при більшій основі трапеції.
А) 60°; Б) 30°,В) 45°, Г) 75.°
5. Площа рівностороннього трикутника дорівнює 33 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник,
3 -/3см2
А) 1 см; Б) 2 см; В) см; Г)
3
6. При якому значенні у модуль вектора (9; у) дорівнює 15?
А) - 24 або 6; Б) 12; В) -12 або 12; Г) -12.
Достатній рівень навчальних досягнень
7. Знайдіть сторони паралелограма з гострим кутом 60”, якщо його
Tлоща дорівнює 143 см", а периметр - 22 см.
8. З листа ясерсті, який має форму прямокутного трикутника не-
обхідно вирізати круг найбільшої площі. Яким має бути радіус
цього круга, якщо катети трикутника дорівнюють 5 м і 12 м?
см.
АВ=АС=ВС=МА=МВ=МС=√6/2.
Через точку А₁ на ребре АВ, АА₁=А₁В в плоскости треугольника АМВ проведем прямую параллельную прямой АМ. Получим точку М₁, лежащую на ребре МВ, такую, что ММ₁=М₁В. АМ || A₁M₁. Через точку М₁ в грани МВС проведём прямую параллельную МС. Получим точку С₁ на ребре ВС, так что ВС₁=С₁С. МС || М₁С₁
Соединим точки А₁ и С₁, получим треугольник А₁С₁М₁ - нужное нам сечение.
Причем А₁С₁ || AC, так как является средней линией треугольника АВС.
Каждая сторона треугольника А₁М₁С₁ является средней линией треугольника АМС и А₁М₁=А₁С₁=М₁С₁=√6/4
Чтобы найти расстояние между плоскостями АМС и А₁М₁С₁ опустим перпендикуляр из точки В на плоскость АМС. Так как дан тетраэр, то вершина В проектируется в центр окружности, описанной около правильного треугольника АМС
ОА=ОС=ОМ=R
Аналогично точка О₁ - центр окружности, описанной около правильного треугольника А₁М₁С₁
О₁А₁=О₁С₁=О₁М₁=R/2 в силу подобия треугольников АМС и А₁М₁С₁ с коэффициентом подобия 2.
радиус окружности описанной около равностороннего треугольника можно найти по формуле
при a=√6/2 получаем R=√6/2 ·√3/3=√2/2
Тогда по теореме Пифагора ВО²=АВ²-АО²=(√6/2)²-(√2/2)²=6/4 - 2/4=4/4=1
Значит ВО₁=1/2 в силу подобия
и ОО₁=ВО-ВО₁=1/2
ответ 1/2