У нас есть сфера с уравнением x^2 + y^2 + z^2 = 49 и точка M(2; 3; 6), в которой мы хотим найти уравнение касательной плоскости.
1. Сначала найдем градиент (вектор нормали) к поверхности сферы в точке M. Градиент показывает направление, в котором поверхность меняется быстрее всего и перпендикулярен касательной плоскости.
Для этого возьмем частные производные уравнения сферы по x, y и z:
У нас есть сфера с уравнением x^2 + y^2 + z^2 = 49 и точка M(2; 3; 6), в которой мы хотим найти уравнение касательной плоскости.
1. Сначала найдем градиент (вектор нормали) к поверхности сферы в точке M. Градиент показывает направление, в котором поверхность меняется быстрее всего и перпендикулярен касательной плоскости.
Для этого возьмем частные производные уравнения сферы по x, y и z:
∂/∂x (x^2 + y^2 + z^2) = 2x
∂/∂y (x^2 + y^2 + z^2) = 2y
∂/∂z (x^2 + y^2 + z^2) = 2z
Подставим координаты точки M(2; 3; 6) в эти выражения, чтобы найти значения производных:
∂/∂x (x^2 + y^2 + z^2) = 2*2 = 4
∂/∂y (x^2 + y^2 + z^2) = 2*3 = 6
∂/∂z (x^2 + y^2 + z^2) = 2*6 = 12
Получаем градиент в точке M: ∇F = (4, 6, 12). Вектор нормали направлен в сторону, противоположную касательной плоскости.
2. Теперь мы можем записать уравнение касательной плоскости в общем виде. Уравнение касательной плоскости имеет вид:
A*(x - x₀) + B*(y - y₀) + C*(z - z₀) = 0,
где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки M, A, B, C - коэффициенты, которые мы хотим найти.
3. Подставим координаты точки M(2; 3; 6) и градиент (4, 6, 12) в уравнение касательной плоскости:
4*(x - 2) + 6*(y - 3) + 12*(z - 6) = 0.
Упростим это уравнение:
4x - 8 + 6y - 18 + 12z - 72 = 0,
4x + 6y + 12z = 98.
Итак, уравнение касательной плоскости к сфере x^2 + y^2 + z^2 = 49 в точке M(2; 3; 6) равно 4x + 6y + 12z = 98.
Готово! Теперь у вас есть уравнение касательной плоскости, которое можете использовать для решения задачи или дальнейших вычислений.