Теперь давайте рассмотрим вторую часть условия задачи. Сумма площадей поверхностей первых четырех шаров равна половине площади поверхности пятого шара, увеличенной на 10 м^2:
S1 + S2 + S3 + S4 = 1/2 * S5 + 10
Площадь поверхности шара можно выразить следующей формулой:
S = 4 * π * r^2
Теперь подставим значения площадей поверхностей шаров в уравнение:
Хорошо, рассмотрим данный вопрос. Для начала давайте понямем, что означает "разложить вектор MN ⃗(-6;11) по координатным векторам i ⃗ и j ⃗".
В данной задаче у нас есть вектор MN ⃗, который задан своими координатами (-6;11). Вектор i ⃗ представляет единичный вектор, который направлен вдоль оси x (горизонтальное направление), а вектор j ⃗ - это единичный вектор, который направлен вдоль оси y (вертикальное направление). Оба этих вектора имеют длину 1 и ортогональны друг другу.
Теперь мы должны разложить вектор MN ⃗ по этим координатным векторам. Для этого мы представляем исходный вектор в виде суммы двух векторов: один из этих векторов будет направлен вдоль оси x, а другой - вдоль оси y.
Для нахождения координат этих двух векторов нам необходимо использовать проекции. Проекция - это длина отрезка, который лежит на оси, параллельной данному вектору, и проходит через точку, в которой этот вектор пересекает данную ось.
Рассмотрим сначала проекцию вектора MN ⃗ на ось x. Для этого нам нужно найти длину отрезка, который лежит на оси x и проходит через точку M(-6;11). Для нахождения этой длины используем формулу проекции:
Proj_x = MN_x * i_x,
где MN_x - это координата вектора MN ⃗ по оси x, а i_x - это координата вектора i ⃗ по оси x (1, так как это единичный вектор). Подставляя значения, получим:
Proj_x = -6 * 1 = -6.
Таким образом, проекция вектора MN ⃗ на ось x равна -6.
Теперь рассмотрим проекцию вектора MN ⃗ на ось y. Для этого нам нужно найти длину отрезка, который лежит на оси y и проходит через точку M(-6;11). Для нахождения этой длины используем формулу проекции:
Proj_y = MN_y * j_y,
где MN_y - это координата вектора MN ⃗ по оси y, а j_y - это координата вектора j ⃗ по оси y (1, так как это единичный вектор). Подставляя значения, получим:
Proj_y = 11 * 1 = 11.
Таким образом, проекция вектора MN ⃗ на ось y равна 11.
Теперь, чтобы найти разложение вектора MN ⃗ по координатным векторам i ⃗ и j ⃗, мы просто суммируем два вектора, представляющих проекции:
MN ⃗ = Proj_x * i ⃗ + Proj_y * j ⃗.
Подставляя найденные значения для проекций, получим:
MN ⃗ = -6 * i ⃗ + 11 * j ⃗.
Окончательный ответ: разложение вектора MN ⃗ по координатным векторам i ⃗ и j ⃗ равно -6 * i ⃗ + 11 * j ⃗. Школьнику следует не забыть, что i ⃗ и j ⃗ - это единичные векторы, а значит длина разложения будет равна сумме длин проекций по осям x и y.
Пусть радиус каждого шара будет равен r, а площадь его поверхности будет обозначена как S.
По условию задачи, сумма объемов четырех первых шаров равна половине объема пятого шара:
V1 + V2 + V3 + V4 = 1/2 * V5
Объем шара можно выразить следующей формулой:
V = (4/3) * π * r^3
Теперь подставим значения объемов шаров в уравнение:
(4/3) * π * r^3 + (4/3) * π * r^3 + (4/3) * π * r^3 + (4/3) * π * r^3 = 1/2 * (4/3) * π * r^3
Упростим данное уравнение:
4 * (4/3) * π * r^3 = 1/2 * 4/3 * π * r^3
Приравниваем правые части уравнения:
4 * (4/3) * π * r^3 = 1/2 * 4/3 * π * r^3
При упрощении:
4 * r^3 = 1/2 * r^3
Теперь давайте рассмотрим вторую часть условия задачи. Сумма площадей поверхностей первых четырех шаров равна половине площади поверхности пятого шара, увеличенной на 10 м^2:
S1 + S2 + S3 + S4 = 1/2 * S5 + 10
Площадь поверхности шара можно выразить следующей формулой:
S = 4 * π * r^2
Теперь подставим значения площадей поверхностей шаров в уравнение:
4 * π * r^2 + 4 * π * r^2 + 4 * π * r^2 + 4 * π * r^2 = 1/2 * 4 * π * r^2 + 10
Упростим данное уравнение:
16 * π * r^2 = 4 * π * r^2 + 10
Вычтем 4 * π * r^2 из обеих частей уравнения:
12 * π * r^2 = 10
Разделим обе части уравнения на 12 * π :
r^2 = 10 / (12 * π)
r^2 = 5 / (6 * π)
Таким образом, радиус пятого шара равен корню квадратному из 5 / (6 * π). Это и есть ответ на задачу.