1)Проведу прямую через точку C трапеции ABCD,такую, что СE || BD. (здесь E - точка пересечения с продолжением основания трапеции AD). Поскольку СE || BD, а DE || BC - по определению трапеции, то DBCE - параллелограмм. а в нём противоположные стороны равны. Значит, CE = BD = 12.
2)Теперь можно рассмотреть ΔACE. Найду его стороны.CE = 12, AC = 16 - по условию. AE = AD + DE, а так как противоположные стороны в параллелограмме равны, то DE = BC. Следовательно,
AE = AD + BC.
Мы знаем, что средняя линия равна полосумме оснований.
Отсюда следует, что AD + DE = 10 * 2 = 20
Итак, AE = 20.
3)проведу высоту CH(пусть она будет обозначена как h). Далее можно заметить из того же треугольника, что 20² = 12² + 16², следовательно в этом треугольнике выполняется теорема Пифагора, откуда получаем, что он - прямоугольный. Видим, что высота h проведена к гипотенузе, значит, её можно расчитать по формуле h = ab/c, где a,b - катеты, c - гипотенуза.
Получаем, h = 16 * 12 / 20 = 9.6
4)Площадь трапеции равна произведению полосуммы оснований на высоту или произведению средней линии на высоту, значит
S = 10 * 9.6 = 96 - это площадь трапеции.
ΔCDB - прямоугольный. R=1/2·BC.(Радиус окружности ,описанной около прямоугольного треугольника = половине гипотенузы)
S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB·BC/AB·BC ⇒ S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB/BC (1)
S(ΔDBC)=1/2 DB·DC=1/2·DB·12=6·DB S(ΔDBC) = 6·DB
S(ΔABC)=1/2 AC·BE =1/2AC·10= 5·AC S(ΔABC)=5·AC
Получили,что S(ΔDBC)/ S(ΔABC) = 6·DB /5·AC (2)
Следовательно, DB / BC = 6·DB / 5·AC ⇒ 5AC=6BC (3)
Из Δ ВЕС найдём ЕС =х по т. Пифагора : ЕС²=ВС²-ВЕ²
х²=а²-10² ⇒ х=√а²-100 АС=2х=2·√а²-100
Используем (3) равенство : 5 АС=6 ВС и АС=2х ⇒
5·2√а²-100 = 6а ⇒ 100·(а²-100)=36 а² ⇒ 64 а²=10000
а²=10000 / 64 ⇒ а=100 / 8 R = 1/2 a = 50/8 = 25 / 4