Пусть внутри равностороннего треугольника ABC взяли точку O. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AOB, BOC, AOC. Площадь треугольника AOB можно записать как 1/2*a*h1, где a - сторона AB исходного равностороннего треугольника, h1 - высота треугольника AOB, проведённая из вершины O. Она и будет расстоянием от O до стороны AB. Аналогично, площади треугольников BOC и AOC можно записать соответственно как 1/2*a*h2, 1/2*a*h3, где h2, h3 - расстояния от O до двух других сторон треугольника. Сложив эти три площади, получим, что 1/2*a*(h1+h2+h3)=1/2*a*h, где h - высота исходного равностороннего треугольника. Значит, h1+h2+h3=h, то есть сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его сторон постоянна и равна высоте этого треугольника, в нашем случае 6 см.
Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат. Сторона основания равна апофеме РН, следовательно, средняя линия НМ квадрата ABCD тоже равна РН. Боковые грани - равнобедренные треугольники, и апофема РМ равна апофеме РН. Основание высоты РО пирамиды - в точке пересечения диагоналей квадрата, высота перпендикулярна основанию, отсюда сечение РНМ, содержащее эту высоту, перпендикулярно основанию, а стороны треугольника НРМ равны. ∆ НРМ - правильный. НМ перпендикулярна АВ, отсюда КМ перпендикулярна АВ, т.к. НМ содержит ее проекцию ЕМ, перпендикулярную АВ ( теорема о 3-х перпендикулярах). ⇒ высота КМ правильного треугольника КРН в то же время общий перпендикуляр между РН и АВ Углы ∆ НРМ равны 60° ∠КНМ=60°, КМ=НМ*sin*(60°)= 4√3*(√3):2= 6
