В равнобедренном треугольнике АВС с вершиной в точке В прямая, параллельная биссектрисе угла В пересекает сторону АС в точке D, а сторону ВС в точке М. Угол CDM больше угла С на 30 градусов. Доказать , что треугольник АВС равносторонний.
MN II AB как средняя линия в треугольнике ABC; ML II CD как средняя линия BCD; KL II AB как средняя линия ABD; KN II CD как средняя линия ACD; Поэтому противоположные стороны четырехугольника KLMN параллельны, то есть это параллелограмм. По условию его диагонали KM и LN перпендикулярны, то есть это - ромб, все его стороны равны. Так же по условию KN = LN, то есть треугольник KNL равносторонний. Следовательно ∠NKL = 60°; Так как стороны этого угла параллельны сторонам искомого угла (то есть KL II AB; KN II CD), то прямые AB и CD тоже образуют угол 60°.
Чтобы найти площадь квадрата, мы можем использовать формулу S = a^2, где “а” - длина стороны квадрата. Однако, в данном вопросе нам дана информация о диагоналях квадрата.
В квадрате диагонали являются перпендикулярными линиями, которые делят его на 4 прямоугольных треугольника.
Рассмотрим один из этих треугольников. У него есть гипотенуза (диагональ квадрата) и две катеты, которые являются сторонами квадрата. Катеты и гипотенуза связаны между собой с помощью теоремы Пифагора: a^2 + a^2 = c^2, где “а” - длина катета, “с” - длина гипотенузы.
Исходя из этого, мы можем записать уравнение для стороны квадрата: 2a^2 = c^2.
Теперь посмотрим на другой прямоугольный треугольник, который имеет свою гипотенузу равной другой диагонали квадрата. Аналогично, мы можем записать уравнение для стороны квадрата: 2a^2 = d^2, где “d” - длина другой диагонали.
Теперь у нас есть два уравнения: 2a^2 = c^2 и 2a^2 = d^2.
Чтобы найти площадь квадрата, мы должны найти значение “а”. Для этого мы можем приравнять два уравнения и решить уравнение относительно “а”:
c^2 = d^2 (так как оба значения равны 2a^2)
c = d (извлекаем квадратный корень)
a = c/√2
Теперь, чтобы найти площадь квадрата, мы можем подставить значение “а” в формулу S = a^2:
S = (c/√2)^2 = c^2/2
Итак, площадь квадрата равна c^2/2, где “с” - длина любой из его диагоналей.
ML II CD как средняя линия BCD;
KL II AB как средняя линия ABD;
KN II CD как средняя линия ACD;
Поэтому противоположные стороны четырехугольника KLMN параллельны, то есть это параллелограмм.
По условию его диагонали KM и LN перпендикулярны, то есть это - ромб, все его стороны равны.
Так же по условию KN = LN, то есть треугольник KNL равносторонний.
Следовательно ∠NKL = 60°;
Так как стороны этого угла параллельны сторонам искомого угла (то есть KL II AB; KN II CD), то прямые AB и CD тоже образуют угол 60°.