Из курса геометрии мы знаем, что объём призмы (в том числе и шестиугольной) вычисляется по формуле V = So × h, где So - площадь основания призмы, а h - высота призмы. Для данного задания (правильная шестиугольная призма) высота h является ребром (гранью) призмы, а площадь основания будет вычисляться по формуле So = 3√3/2 × а², где а - сторона основания призмы. Тогда первоначальный (до изменений) объём можем записать как: V1 = 3√3/2 × а² × h = 180 После изменений размеров рёбер и сторон оснований объём изменится так: V2 = 3√3/2 × (а÷3)² × 2h Соотношения объёмов: V1 / V2 = 180 / V2 = (3√3/2 × а² × h) / (3√3/2 × (а÷3)² × 2h), что после ряда сокращений и преобразований даст нам V2 = 180 × 2 ÷ 9 = 40 ответ: объём полученной призмы равен 40.
Уравнение задаёт гиперболу с действительной полуосью «a», мнимой полуосью «b» и центром в точке O₁(x₀;y₀). Находим центр симметрии гиперболы как точку пересечения асимптот: {х - 2у - 3 = 0 {x + 2y + 1 = 0. ____________ 2x - 2 = 0 x = 2 / 2 = 1. y = (x - 3) / 2 = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1. Получили точку О₁(1; -1).
Если выразить уравнения асимптот гиперболы в виде уравнения прямой с коэффициентом, то получим: у = (1/2)х - (3/2), у = -(1/2)х - (1/2). Коэффициент перед х равен отношению (b / a), где число а называют действительной полуосью гиперболы; число b – мнимой полуосью. Отношение b / a = 1 / 2, то есть a = 2b. Сумма их квадратов равна квадрату расстояния от центра симметрии до фокуса, которое по заданию равно 20 / 2 = 10. Подставляя в соотношение a² + b² = c² значения a = 2b и c = 10, получим (2b)² + b² = 100; b² = 100 / 5 = 20; a = 2b, а потому a²= 4b²= 4*20=80. Искомым уравнением гиперболы будет :
Тогда первоначальный (до изменений) объём можем записать как:
V1 = 3√3/2 × а² × h = 180
После изменений размеров рёбер и сторон оснований объём изменится так:
V2 = 3√3/2 × (а÷3)² × 2h
Соотношения объёмов:
V1 / V2 = 180 / V2 = (3√3/2 × а² × h) / (3√3/2 × (а÷3)² × 2h),
что после ряда сокращений и преобразований даст нам
V2 = 180 × 2 ÷ 9 = 40
ответ: объём полученной призмы равен 40.