ответ
120°
Объяснение:
Решение
Пусть ∠ABD = ∠ADB = α, ∠BAC = ∠ACB = β. По теореме о внешнем угле треугольника ∠BMC = α + β.
Через точку A проведём прямую, параллельную стороне CD. Пусть эта прямая пересекается с прямой DB в точке K. Треугольник AMK равнобедренный, так как он подобен равнобедренному треугольнику CMD. Значит, ∠DK = DM + MK = CM + MA = CA, то есть трапеция AKCD – равнобедренная. Поэтому CK = AD = BC, то есть треугольник BCK также равнобедренный (по условию точка K не совпадает с точкой B). Кроме того,
∠KCM = ∠ADM = α. Рассмотрим два случая.
1) Точка K лежит на диагонали DB. Тогда ∠KBC = ∠BKC = ∠KMC + ∠KCM = 2α + β. Отсюда
180° = ∠BMC + ∠MBC + ∠MCB = (α + β) + (2α + β) + β = 3α + 3β.
2) Точка лежит на продолжении DB за точку B. Тогда ∠BKC = ∠KBC = ∠BMC + ∠BCM = α + 2β. Отсюда
180° = ∠KMC + ∠MK + ∠KCM = (α + β) + (α + 2β) + α = 3α + 3β.
Итак, в любом случае α + β = 60°. Следовательно, ∠CMD = 180° – ∠KMC = 180° – (α + β) = 120°.
∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а
∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса
получилось, что треугольник AKB - равнобедренный.
Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K.
Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.