1) Расстояние между параллельными прямыми - длина перпендикуляра. Проведем общий перпендикуляр AB к прямым через центр окружности O. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Через точку можно провести только один перпендикуляр к прямой. Следовательно OA и OB - радиусы. Длина перпендикуляра AB равна двум радиусам, то есть диаметру.
2) Окружности имеют точку касания, следовательно общую касательную. Проведем радиусы в точку касания. Радиусы перпендикулярны касательной и составляют развернутый угол. Точка касания лежит на линии центров. Расстояние между центрами равно сумме радиусов.
R1=5x, R2=7x
R1+R2 =12x =36 => x=3
R1=15, R2=21
ΔАВС - прямоугольный треугольник , ∠С=90° , ∠А=60° , S(АВС)=18√3 .
AMNK - ромб ⇒ АК║MN , AM║KN , обозначим AK=MN=AM=KN=a .
Так как АК║MN , то ΔMNB - прямоугольный и ∠MNB=90° ,
∠NMB=∠A=60° (как соответственные углы ) ⇒ ∠MBN=90°-60°=30°
Катет, лежащий против угла в 30° : MN=0,5*ВМ ⇒ ВМ=2*MN=2а .
BN=√((2a)²-a²)=a√3
ΔKNC: ∠KNC=∠CNM-∠KNM=90°-60°=30° , так как ∠KNM=∠A как противоположные углы ромба. Этот факт можно вывести из того , что ΔKNC подобен ΔАВС ( т.к. АВ║KN ).
Катет КС лежит против угла в 30°, значит равен половине гипотенузы KN=a ⇒ КС=а/2 . Катет CN=√(a²-(a²/4))=a√3/2 .
ВС=BN+CN=(a√3/2)+a√3=(3a√3)/2 .
AC=AK+CK=a+(a/2)=3a/2 .
S(АВС)=1/2*АС*ВС=1/2*3а/2*(3а√3/2)=(9√3а²)/8
(9√3a²)/8=18√3 ⇒ a²=144/9 , a=12/3=4 .
S(ромба)=а²*sin60°=a²*√3/2=(144/9)*(√3/2)=8√3 .