Две стороны треугольника равны 3 и 5. Известно, что окружность, проходящая через середины этих сторон и их общую вершину, касается третьей стороны треугольника. Найдите третью сторону.
––––––––––––––––
АН и СН - касательные к окружности.
АВ - секущая, АК - её внешняя часть.
АВ=3, АК=0,5 АВ=1,5
СВ - секущая, СМ - её внешняя часть
СВ=5, СМ=СВ:2=2,5
Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. ⇒
АН ²=АВ•AK=3*1,5=4,5=450/100
АН=√4,5=√(450/100)=√(9*25*2:100)=(3•5√2)/10=1,5√2
СН²=СВ•CM=5*2,5=1250/100
CH=√(25•25•2/100)=(25√2)/10=2,5√2
АС=АН+СН=1,5√2+2,5√2=4√2
Если диагональ трапеции является биссектрисой острого угла, то верхнее основание равно боковой стороне (равные углы при основании треугольника с боковой стороной и верхним основанием).
Примем длины боковых сторон и верхнего основания за х.
Нижнее основание из пропорции 2 :5 или 1 : 2,5 будет равно 2,5х.
Тогда периметр 33 = 3х + 2,5х = 5,5х, отсюда х = 33/5,5 = 6.
ответ: верхнее основание равно 6, нижнее равно 2,5*6 = 15.