В треугольнике ABC AC= BC, K - точка пересечения биссектрис треугольника, а O - точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Отрезок OK пересекает сторону AB в точке E и точкой пересечения делится пополам. Найдите углы треугольника ABC.
------
Точка К равноудалена от сторон треугольника, поэтому является центром вписанной окружности.
Точка О - равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности. Точка К лежит на высоте и медиане к АВ ( на срединном перпендикуляре), точка О лежит на срединном перпендикуляре к АВ, поэтому С, К, Е и О принадлежат одной прямой СО.
Т.к. отрезок КО пересекает АВ, точка О расположена вне треугольника.
Высота и медиана СЕ ⊥ АВ и делит его пополам.
Соединим точки К и О с вершинами А и В.
В получившемся четырехугольнике АКВО отрезки АЕ=ВЕ, КЕ=ОЕ.
Треугольники, на которые КО и АВ делят этот четырехугольник, прямоугольные и равны по двум катетам.
Следовательно, АК=ВК=ВО=АО, и АКВО - ромб. АВ - его диагональ и делит его углы пополам.
Пусть ∠ЕАО=α, тогда ∠КАЕ=α, а, так как АК - биссектриса угла САВ, то ∠САК=∠ЕАК, и ∠САЕ=2α.
∆СОА - равнобедренный ( по условию ОА=ОС=ОВ).
∠ОСА=∠ОАС=3α.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
В ∆ СЕА ∠САЕ+∠АСЕ=5α.
5α=90°, откуда α=90°:5=18°
∠САВ=∠СВА=2•18°=36°
∠АСВ=180°-2•36°=108°.
3. 1. Неверно. В равнобедренном треугольнике могут совпадать высота и медиана только из одной вершины. Из всех вершин они совпадают только в равностороннем треугольнике.
3.2. Верно. Если биссектриса делит противоположную сторону на равные отрезки, то она еще и медиана. Такой треугольник равнобедренный.
3.3. Верно. В равностороннем треугольнике высоты и биссектрисы, проведенные из каждой вершины, совпадают.
4. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Следовательно, FО - биссектриса.
___
5. Если АF=FC, то BF- еще и медиана. Высота и медиана совпадают в равнобедренном треугольнике.⇒ ВС=ВА=7 см.
6. EF = FK, BF – высота⇒
Треугольник КВЕ равнобедренный. Решения нет, по одной только высоте найти основание треугольника нельзя.
7. Основание равно разности между периметром и суммой боковых сторон. 12-(5+5)=2 см.
Подробнее - на -
Объяснение: