Объяснение:
Смотри прикреплённый рисунок.
Пусть а = 8 см - ребро тетраэдра
a) В основании АВС проведём высоту АЕ ⊥ ВС. АЕ = 0,5а√3;
Опустим высоту SO на плоскость АВС.
Угол между прямой SA и плоскостью АВС есть угол SAO
b) В основании АВС проведём высоту BK ⊥ AС. BK = 0,5а√3;
Опустим высоту SO на плоскость АВС.
Проведём в грани SAC апофему SK = 0,5а√3
Угол между плоскостями SAC и АВС есть угол SKO между апофемой SK и высотой основания ВК как угол между двумя перпендикулярами, восставленными из точки К к линии пересечения АС плоскостей SAC и АВС
Поскольку тетраэдр правильный, то углы между любой боковой плоскостью и плоскостью основания равны между собой. И косинус между плоскостью SBC и плоскостью АВС равен 1/3.
AD = 8 ед.
Объяснение:
По теореме синусов в треугольнике АВС имеем:
АВ/sinx = BC/Sin3x.
По формуле тройного аргумента Sin3x = 3Sinx - 4Sin³x =>
11/sinx = 19/(3sinx-4sin³x) => 14sinx - 44sin³x = 0.
2sinx(7-22sin²x) = 0 => Sinx = 0 (не удовлетворяет)
Sinx = ± √(7/22). По формуле двойного аргумента:
Sin2x = 2SinxСosx. (1)
В треугольнике АВС угол В = 180 - 4х (по сумме внутренних углов).
Sin (180 - a) = Sina => SinB = Sin4x.
Sin4x = 2Sin2xСos2x. (2) По формуле двойного аргумента.
В треугольнике ABD угол D = 180 - 2х (смежные углы).
Sin (180 - 2х) = Sin2х.
Тогда по теореме синусов в треугольнике ABD:
AB/SinD = AD/SinB => AD = 11·Sin4x/Sin2x. Или
AD = 11·2Sin2xСos2x/2SinxСosx =>
AD = 11·2SinxСosx·2Сos2x/2SinxСosx = 11·2Сos2x = 22·Сos2x .
Cos2x = 1 - Sin²2x (формула двойного аргумента).
Cos2x = 1 - 2·7/22 = 8/22.
AD = 22·(8/22) = 8 ед.