Основание пирамиды - прямоугольник, стороны которого равны 24 дм и 15 дм. Высота пирамиды проходит через середину большей стороны основания и равна 16 дм. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
Вначале исследуем вид каждого треугольника в боковых гранях
• Рассмотрим тр. SBC: SE - высота и медиана - по условию => тр. SBC - равнобедренный ( ВS = SC ) • SB - наклонная, SE - перпендикуляр к плоскости АВС , ВЕ - проекция наклонной SB на плоскость АВС. SE перпендикулярен ВС , ВЕ перпендикулярен АВ => по теореме о трёх перпендикулярах SB перпендикулярен АВ Значит, тр. АВS - прямоугольный Аналогично, тр. CDS - прямоугольный • тр. АВS = тр. CDS по двум катетам => AS = DS . Значит, тр. ADS - равнобедренный • В тр. ADS из вершины S на AD опустим высоту SH => AH = HD SH перпендикулярен AD , SE перпендикулярен ЕН => по теореме о трёх перпендикулярах EH перпендикулярен AD • Рассмотрим тр. SEH (угол SEH = 90°): По теореме Пифагора: SH^2 = EH^2 + SE^2 SH^2 = 15^2 + 16^2 = 225 + 256 = 481 SH = V481 дм • Рассмотрим тр. ВES (угол BES = 90°): По теореме Пифагора: ВS^2 = SE^2 + BE^2 BS^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 BS = 20 дм
Для составления уравнения плоскости ACD используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xC - xA yC - yA zC - zA
xD - xA yD - yA zD - zA
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - (-4) y - (-5) z - (-3)
5 - (-4) 7 - (-5) (-6) - (-3)
6 - (-4) (-1) - (-5) 5 - (-3)
= 0
x - (-4) y - (-5) z - (-3)
9 12 -3
10 4 8
= 0
x - (-4) 12·8-(-3)·4 - y - (-5) 9·8-(-3)·10 + z - (-3) 9·4-12·10 = 0
108 x - (-4) + (-102) y - (-5) + (-84) z - (-3) = 0
108x - 102y - 84z - 330 = 0
18x - 17y - 14z - 55 = 0.
Для вычисления расстояния от точки B(Bx; By; Bz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Bx + B·By + C·Bz + D| (√A² +B² + C²).
d = |18·3 + (-17)·1 + (-14)·2 + (-55)| √182 + (-17)2 + (-14)2 = |54 - 17 - 28 - 55| /√(324 + 289 + 196) = = 46/ √809 = 46√809/ 809 ≈ 1.617274.