Пусть ABCD прямоугольник AD =BC =2 ; AB =CD =6 и пусть AD∈ α(меньшая сторона прямоугольника лежит в плоскости α). Из вершины C опустим перпендикуляр к плоскости CH ┴ α . AC наклонная ,а AH ее проекция. Угол между прямой AC и плоскости α будет <CAH ( =60°). <CDH =β будет линейным углом между плоскостью прямоугольника и плоскостью α ; действительно AD линия пересечения плоскостей (ABCD) и α . AD ┴ CD ⇒ AD ┴ HD (СD наклонная , а HD ее проекция). ΔACH : CH =AC*sin60° (1); ΔDCH: CH =CD*sinβ (2) . AC*sin60° =CD*sinβ ; sinβ=AC/CD*sin60° ; AC =√(AD² +CD²) =√(2² +6²) =√40 =2√10. sinβ = 2√10/6 *√3/2 =(√30)/6 .⇒ β =arcsin(√30)/6 .
№1. Надо через середину вектора РC провести плоскость, перпендикулярную РC и найти точку пересечения этой плоскости и оси Z. Точка пересечения будет очевидно равноудалена от точек Р и С. Вектор РC{-5;8;-1} (из координат начала вычитаем координаты конца), его середина - точка М(1,5;-1;1,5) (координаты середины отрезка PC находим по формуле x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2, z=(z1+z2)/2). Уравнение плоскости, проходящей через точку М(Хо;Yo;Zo) перпендикулярно вектору PC{n1;n2;n3}, выражается формулой: n1(X-Xo)+n2(Y-Yo)+n3(Z-Zo)=0. В нашем случае: -5Х+7,5+8Y+8-Z+1,5=0 или 5Х-8Y+z-17=0. Тогда точка К пересечения этой плоскости с осью 0z (х=0 и y=0) будет иметь координаты К(0;0;17). Сумма координат этой точки равна 17.
Проверка: найдем модули векторов КС и КР. Вектор КС{1;3;16}, вектор КР{4;-5;15}. Модули векторов: |КC|= √(1+9+256)=√266. |KP|=√(16+25+225)=√266.Итак, расстояния от точки К до точек С и Р равны.
№2. Чтобы найти координаты вершины D параллелограмма, надо найти точку О пересечения его диагоналей (а так как в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, надо найти середину вектора АС) и найти координаты вектора ВD по координатам его начала (точка В) и середины (точка О). Итак, координаты точки О (середина отрезка АС) находим по формуле: x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2, z=(z1+z2)/2). В нашем случае это О(2,5;-0,5;-0,5). тогда координаты конца вектора ВD найдем по этой же формуле, подставив известные значения точек В и О: -2+Хd=5, 4+Yd=-1, -5+Zd=-1. Xd=7, Yd=-5, Zd=4. Итак, имеем точку D(7;-5;4). Тогда сумма координат этой точки равна 6.
Проверка: Вектора АВ и CD (также как и BC и АD) должны быть равны по модулю и коллинеарны. Найдем координаты векторов: AB={-6;5;-8}, CD{6;-5;8}. BC{3;-4;-1}, AD{3;-4;1} И их модули: |AB|=√125, |CD|=√125. |BC|=√26, |AD|=√26. Итак, фигура АВСD - параллелограмм.
ΔACH : CH =AC*sin60° (1);
ΔDCH: CH =CD*sinβ (2) .
AC*sin60° =CD*sinβ ;
sinβ=AC/CD*sin60° ; AC =√(AD² +CD²) =√(2² +6²) =√40 =2√10.
sinβ = 2√10/6 *√3/2 =(√30)/6 .⇒ β =arcsin(√30)/6 .