Основание ад трапеции абсд лежит в плоскости альфа. через точки б и с проведены параллельные прямые, пересекающие альфа в точках е и ф соответственно. а) каковы взаимные расположения еф и аб? б) чему равен угол между еф и аб, если угол абс=150°
Основание АD трапеции ABCD лежит в плоскости α .Через точки B и C проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость α в точках E и F соответственно. а) каково взаимное расположение прямых EF и AB? б) Чему равен угол между прямыми EF и AB, если ABC = 150°? _____________ а) АД лежит в плоскости альфа. ВС параллельна АD, след, ВС параллельна плоскости α. По условию CF|| BE. Отрезки параллельных прямых, заключенные между плоскостью и параллельной ей прямой, равны. ВЕ параллельна и равна СF. Следовательно, СВЕF параллелограмм, ⇒ ЕF равна и параллельна ВС Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. АD|| ВС, ЕF || ВС след ЕF || АD. ЕF лежит в плоскости α, ВА пересекает ее в точке, не принадлежащей ЕF. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются. ⇒ прямые EF и AB - скрещивающиеся. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. . Сумма углов при боковой стороне трапеции 180°. Угол ВАD=180º-150º=30° Проведем в плоскости ВЕF прямую ЕК, параллельную АВ. Т.к. ЕF|| АD, а ЕК || АВ, угол KEF=углу ВАD и равен 30° ------------- Если ВЕ и СF проведены в плоскости трапеции АВСD, ЕF будет лежать на АD и в этом случае EF и АВ лежат в одной плоскости и не параллельны. В этом случае АВ и EF пересекаются, и угол между ними равен 30º
РО=ТО=РТ - равносторонний, с углами по 60°, для определённости примем длину стороны этого треугольника за единицу площадь сечения S₁ = 1/2*1*1*sin(60°) = √3/4 Площадь боковой поверхности конуса S₂ = π·r·l где r - радиус основания, l - образующая, у нас l=1, радиус будем искать. Площадь треугольника ОРТ через основание и высоту S₁ = 1/2*РТ*ОВ = 1/2*1*ОВ = √3/4 ОВ = √3/2 Теперь с треугольником ОВН ОН/ОВ = sin(60°) ОН = OВ*sin(60°) = √3/2*√3/2 = 3/4 Теперь с треугольником ОТН ТН² + ОН² = ОТ² ТН² + (3/4)² = 1² ТН² = 7/16 ТН = √7/4 --- S₂ = π·√7/4·1 = π√7/4 И требуемое отношение S₁/S₂ = √3/4/(π√7/4) = √3/(π√7)
1) Верное, так как точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон.
2) В правильном Δ радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности. Центры этих окружностей в этом случае совпадают, одновременно они являются точками пересечения медиан, которые в точке пересечения делятся в отношении 2:1. Один из этих отрезков является радиусом описанной окружности, второй - радиусом вписанной окружности.
3) Верное. В этом случае высота является по совместительству серединным перпендикуляром, а центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.
4) Это утверждение верно только для равностороннего Δ, потому что только у такого Δ совпадают центры вписанной и описанной окружностей, а из написанного условия следует, что O - центр описанной окружности.
б) Чему равен угол между прямыми EF и AB, если ABC = 150°?
_____________
а) АД лежит в плоскости альфа. ВС параллельна АD, след, ВС параллельна плоскости α.
По условию CF|| BE.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между плоскостью и параллельной ей прямой, равны. ВЕ параллельна и равна СF. Следовательно, СВЕF параллелограмм, ⇒ ЕF равна и параллельна ВС Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. АD|| ВС, ЕF || ВС след ЕF || АD.
ЕF лежит в плоскости α, ВА пересекает ее в точке, не принадлежащей ЕF. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются. ⇒
прямые EF и AB - скрещивающиеся.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.
. Сумма углов при боковой стороне трапеции 180°.
Угол ВАD=180º-150º=30°
Проведем в плоскости ВЕF прямую ЕК, параллельную АВ.
Т.к. ЕF|| АD, а ЕК || АВ, угол KEF=углу ВАD и равен 30°
-------------
Если ВЕ и СF проведены в плоскости трапеции АВСD, ЕF будет лежать на АD и в этом случае EF и АВ лежат в одной плоскости и не параллельны. В этом случае АВ и EF пересекаются, и угол между ними равен 30º