1.
Дано: Δ АВС, S=9√3 cм², АВ=12 см, АС=3 см. Найти ∠ВАС.
Решение: угол ВАС найдем из формулы площади треугольника S=1\2a*b*sinα
9√3=1\2 * 12 * 3 * sinВАС
18sinВАС=9√3, sinВАС=√3\2, ∠ВАС=60°.
ответ: 60°.
2.
Дано: АВСД - трапеция, АВ=СД, АД=20√3, ∠А=∠Д=60°, АС⊥СД. Найти S(АВСД).
Решение: Проведем высоту СН, тогда S(АВСД)=(ВС+АД):2*СН.
Рассмотрим ΔАСД - прямоугольный, ∠Д=60°, тогда ∠САД=90-60=30°, а СД=1\2 АД=20√3:2=10√3.
Диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне и делит угол А пополам, значит большее основание трапеции в два раза больше меньшего основания и её боковых сторон; и высота трапеции равна половине её диагонали.
СД=ВС=20√3:2=10√3;
АС²=(20√3)²-(10√3)²=1200-300=900; АС=√900=30.
СН=1\2 АС=30:2=15.
S(АВСД)=(20√3+10√3):2*15=225√3 (ед²).
ответ: 225√3 ед²
2) ΔАВС, ∠С = 90°, ∠А = α = π/3, АВ = с = 20, АС=?
Решение.
АС/АВ = Сosα, ⇒ AC = ABCosα = cCosα
AC = cCosα
AC = 20Cosπ/3 = 20*1/2 = 10
АС = 10
3)ΔАВС, ∠А = ∠С = α = 30°, АВ = ВС = а = 12, АL=? ( АL - биссектриса)
Решение
1) ΔАВС , ∠А = ∠С = α = 30°, ∠В = 180° - 2*30° = 120°, АВ = ВС = а = 12
Ищем АС по т. косинусов
АС² = 12² + 12² - 2*12*12*Сos120² = 144 +144 + 288*1/2= 432
АС = 12√3
2) ΔАLC, ∠C = α = 30°, ∠LAC = α/2 = 15°,
∠ALC = 180° -(α +α/2) =180° -1,5α= 135°
AL ищем по т. синусов
AL/SinC = AC/Sin(180-1,5α)
AL= AC*Sinα/Sin1,5α = 12√3*Sinα/Sin1,5α
AL = 12√3*Sinα/Sin1,5α
AL = 12√3*1/2/√2/2= 6√3/√2/2 = 12√3/√2 = 6√6
АL= 6√6