Question

Дана трапеция MNPQ. Докажи, что если меньшее основание, диагональ и большее основание относятся соответственно как 1:2:3, то эта диагональ делит трапецию на два подобных треугольника ​

Answer 1

Добрый день! Давайте рассмотрим задачу о трапеции MNPQ, у которой меньшее основание PN, диагональ MP и большее основание MQ относятся соответственно как 1:2:3.

Для начала, рассмотрим свойства подобных треугольников.

1. Основные свойства подобных треугольников:
- Соответствующие углы подобных треугольников равны.
- Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно.

Теперь перейдем к доказательству, что диагональ MQ делит трапецию MNPQ на два подобных треугольника.

1. Возьмем меньшее основание PN и большее основание MQ. По условию задачи, их отношение равно 1:3.
- Обозначим меньшее основание PN как a.
- Тогда большее основание MQ будет равно 3a.

2. Рассмотрим диагонали трапеции:
- Обозначим диагональ MP как b.
- Задача говорит о том, что отношение диагонали MP к меньшему основанию PN равно 2:1.
- То есть b:a = 2:1.

3. Теперь мы можем выразить диагональ MP через меньшее основание PN:
- Из условия b:a = 2:1 следует, что b = 2a.

4. Теперь сравним отношения диагонали MP к меньшему основанию PN и большему основанию MQ:
- Из пункта 1 мы знаем, что MQ:PN = 3:1.
- Из пункта 3 мы знаем, что MP:PN = 2:1.

5. Поделим отношение диагонали MP к меньшему основанию PN на отношение большего основания MQ к меньшему основанию PN:
- (MP:PN) / (MQ:PN) = (2:1) / (3:1).
- Поскольку отношение PN сокращается, мы получаем MP:MQ = 2:3.

6. Получили, что отношение длин сторон МР и МQ равно 2:3. Таким образом, у нас есть два подобных треугольника МRN и МQM.

Таким образом, мы доказали, что диагональ MQ действительно делит трапецию MNPQ на два подобных треугольника.