Question

Дано: ABCD - параллелограмм,
a перпендикулярен (ABC), ,
MA перпендикулярен AD.
Доказать:
ABCD - прямоугольник.
​

Answer 1

Для того чтобы доказать, что ABCD - прямоугольник, нужно использовать свойства параллелограмма и перпендикуляров.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
2. Противоположные углы параллелограмма равны.

Свойства перпендикуляра:

1. Перпендикуляр из точки к линии проходит под прямым углом к этой линии.
2. Если перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых, то он перпендикулярен и второй прямой.

Исходя из данных на рисунке, сначала воспользуемся свойством перпендикуляра и прямым углом.
Поскольку MA перпендикулярен AD, то угол MAD является прямым углом.

Теперь воспользуемся свойствами параллелограмма.
Так как AB || CD (параллельны), и у нас есть перпендикуляр a, то он будет перпендикулярен и той прямой, которая параллельна CD. То есть он будет перпендикулярен прямой BC.

Теперь у нас есть прямой угол MAD и перпендикуляр a, которые пересекаются в точке A.
Из свойств перпендикуляра следует, что все отрезки, идущие из точки А, будут перпендикулярны (BMA, BCA, BAC).

Таким образом, мы получили следующие факты:

1. Угол MAD = 90 градусов (получено из свойства перпендикуляра).
2. Угол BCA = 90 градусов (получено из свойства параллелограмма и перпендикуляра).
3. Угол BMA = 90 градусов (получено из свойства параллелограмма и перпендикуляра).
4. Угол BAC = 180 градусов - 90 градусов - 90 градусов = 0 градусов.
Данный угол является прямым углом.

Итак, мы получили то, что ABCD - параллелограмм, и все его углы равны 90 градусов.
Следовательно, ABCD - прямоугольник.
QED.