Пусть H - середина ABCD, MH - высота пирамиды MABCD,
MH - медиана, биссектриса и высоты треугольника DBM => H - середина DB=> HL - средняя линия треугольника DMB => 2LH=DH;
AH перпендикулярно BD ( как диагонали квадрата),
AH перпендикулярно МH ( т.к. МH - высота пирамиды)
DB пересекает MH в точке H => AH перпендикулярна плоскости DMB, значит угол HLA = 60° (по условию),
CA = √(CB^2+AB^2)=6√2 (по теореме Пифагора)
HA=1/2CA=3√2
LM=AH/tg60° = √6
DM=2LM=2√6
MH=√(DM^2-DH^2)=√6 (по теореме Пифагора)
ответ: √6
Задача встречается в таком виде:
Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 12, она составляет угол 30° с плоскостью боковой грани. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.
DB₁ - диагональ прямоугольного параллелепипеда.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
В₁С₁⊥(DD₁C₁), значит DC₁ - проекция диагонали DB₁ на плоскость (DD₁C₁), а ∠B₁DC₁ = 30°.
ΔB₁C₁D: ∠C₁ = 90°,
B₁C₁ = DB₁ · sin30° = 12 · 1/2 = 6 - ребро основания
DC₁ = DB₁ · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3
ΔDCC₁: ∠C = 90°, по теореме Пифагора
СС₁ = √(DС₁² - DC²) = √(108 - 36) = √72 = 6√2 - высота параллелепипеда
V = Sосн·H = 6² · 6√2 = 216√2