Question

1. На стороне AC треугольника АВС отмечена точка D.
Докажите, что если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD, равны, то AB = BC.
2. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной а, и основанием, равным b.
3. На стороне BC треугольника АВС отмечена точка D. Найдите сторону BC, если расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABD и ACD, равно d и угол ADB =a .
4. В прямоугольный треугольник с катетами AC = 7 и ВС=24 вписана окружность. Найдите расстояние от её центра до вершины А.​

Answer 1

1) По теореме синусов

AB/sin(BDA) =2R =BC/sin(BDC)

BDA+BDC=180 (смежные) => sin(BDA)=sin(BDC)

=> AB=BC

2)

$p=\frac{(a+a+b)}{2}=a+\frac{b}{2}\\\\S=\sqrt{p(p-b)(p-a)(p-a)}=\frac{b}{2}\sqrt{p(p-b)}\\\\r=\frac{S}{p}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{p-b}{p}}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{a-\frac{b}{2}}{a+\frac{b}{2}}}$

4) В любом треугольнике

Отрезки касательных из одной точки равны.

AK=AL, BL=BN, CN=CK

полупериметр p =AL+BL+CK =AB+CK => CK =p-AB

В прямоугольном треугольнике

CKON - квадрат, CK =OK =r =p-AB

По т Пифагора AB=25

CK =OK =(7+24-25)/2 =3

AK =7-3 =4

AO =√(AK^2 +OK^2) =5