Из суммы углов треугольника в треугольнике АВС угол В=180°- ∠А-∠С=80°. По условию ВЕ=ВС ⇒ ∆ ВЕС равнобедренный, поэтому биссектриса ВН, принадлежащая прямой ВD, является его медианой и высотой. Прямоугольные Δ ВЕН =Δ ВСН, их углы при вершине В равны 80:2=40°, углы при основании ЕС равны по (180°-80°):2= 50°. Отсюда ∠НСD=60°-50°=10°. Угол СDH=180°- 90°-10°=80°. ∠НDA=180°-80°=100° ( смежный). В треугольнике СЕD точка Н - середина СЕ, ∠ЕНD=90° ⇒ HD - биссектриса угла D. ∠ВDЕ=80°, поэтому ∠АDE=∠АDH-∠EDH=100°-80°=20°.
(В общем случае ответ дает теорема Чевы (и Ван-Обеля), но в данном случае есть уникальная возможность сразу получить ответ.)
Я продлеваю сторону AB за точку B до точки D, так, что AB = BD; точку D я соединяю с вершиной C.
В треугольнике ADC BM - средняя линия, то есть BM II DC; кроме того, отрезок CB играет роль медианы. Поскольку BK:KC = 1:2; точка K - центроид треугольника ADC (ну, проще говоря, точка пересечения медиан). Поэтому AK - часть медианы ADC (при продолжении AK за точку K эта прямая разделит DC пополам в точке, которую я обозначу N).
Само собой, это означает, что AK делит пополам и BM (там подобные треугольники ANC и AOM, AND и AOB, и CN = ND => MO = OB).
Итак, точка O делит BM пополам.
(Кажется, я так длинно изложил, но "в голове" это всего один шажок).
Дальше все просто - из полученного следует, что от точки O до BC расстояние в 2 раза меньше, чем от точки M до BC. И BK = BC/3;
Поэтому площадь BOK равна (1/2)*(1/3) = 1/6 от площади BMC; (ну, высота к основанию меньше в 2 раза, а само основание - в 3, роль "основания" играют BC и BK)
а площадь BMC составляет 1/2 от площади ABC (аналогично предыдущему замечанию в скобках, только тут "основания" - AM и AC, а высота - расстояние от B до AС, в этом случае высота общая)
ответ 1/12