В прямоугольной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла. Найдите площадь трапеции, если боковые стороны равны 5 см и 10 см.
Объяснение:
ABCD-прямоугольная трапеция . Перпендикуляр AB=5cм, наклонная CD=10 см . Пусть СК ⊥АD, тогда АВСК-прямоугольник и АВ=СК=5 cм.
ВD- биссектриса , значит ∠АDВ=∠ВDС. Но ∠АDВ=∠DВС как накрест лежащие, при ВС||АD ,BD-секущая.
Поэтому ∠DВС=∠ВDС а это означает, что ΔВDС- равнобедренный ⇒ BC=CD=10 см.
ΔCKD-прямоугольный , по т. Пифагора KD=√(10²-5²)=√(5*15)=5√3 .
Тогда AD=10+5√3 ( см). Формула S (трапеции) =1/2*h*(a+b) ,
S (АВСD) =1/2*5*(10+10+5√3)=12,5(4+√3) (см²) .
ΔАСВ - прямоугольный : АВ - гипотенуза ; АС,СВ - катеты
∠С= 90°
∠В = 60°
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Следовательно: ∠А = 90 - 60 = 30°
Катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.
СВ = АВ/2
По теореме Пифагора:
АВ² = АС² + СВ² ⇒ АВ² = АС² + (АВ/2)²
АС= √ (АВ² - (АВ²/4)) ⇒ АС = √ ((4АВ² - АВ²)/4) = √(3АВ²/4) = (АВ*√3) /2
S =1/2 * АС * СВ = 18√3 / 3
1/2 * ((АВ*√3)/2 * (АВ/2)) = 18√3 / 3
1/2 * ( (АВ²*√3) / 4 ) = 18√3 / 3
АВ²√3 / 8 = 18√3 / 3
3 *√3* АВ² = 18√3 * 8
АВ² = 144√3 / 3√3
АВ² = 48
АВ = √48 = √(16*3) = 4√3 - гипотенуза
СВ = 4√3 /2 = 2√3 - один катет
АС = (4√3 *√ 3)/2 = (4*(√3)²)/2 = 12/2 = 6 - второй катет, который лежит против угла В = 60°.
ответ: АС = 6.