В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Следовательно, четырехугольник KLMN - параллелограмм (на всякий случай). а) NL - медиана треугольника ВNC. Следовательно, Sbnl=Scnl (свойство медианы). Но Sabln=Sdcln - дано. Значит и Sabn=Sdcn. Треугольники АВN и DCN имеют одинаковые основания, (точка N - середина отрезка AD. Значит и высоты ВР и CQ, проведенные к этим основаниям, равны. Перпендикуляры ВP=CQ, значит точки В и С прямой ВС находится на одинаковом расстоянии от прямой АD, то есть ВС параллельна AD, что и требовалось доказать. б) АВСD - трапеция (доказано выше). КМ - ее средняя линия. Skbcn=(1/2)(BC+KM)*h1 (площадь трапеции). Sakmd=(1/2)(AD+KM)*h2. Но h1=h2, так как КМ - средняя линия трапеции. Тогда Skbcn/Sakmd=(BC+KM)/(AD+KM). КМ=(ВС+АD)/2. Skbcn/Sakmd=(3ВС+AD)/BC+3AD=11/17 (дано) 51ВС+17AD=11BC+33AD. 40BC=16AD. ВC/AD=2/5.
Посмотрите предложенный вариант: В 4-угольнике стороны образуют прямые углы. 1. Тогда необходимо доказать, что |KL|⊥|LM|; |LM|⊥|MN|; |MN|⊥|KN|. Для этого можно либо вычислить косинус угла между векторами, либо составить уравнения прямых, проходящих через эти пары точек. Решение вторым 2. Для нахождения уравнения прямой необходимо составить два линейных уравнения и решить их как систему. Решение показано во вложении. 3. Из полученных уравнений для прямых видно, что а) KL || MN, LM || KN; (коэффициенты при Х равны) b) KL⊥LM (⊥KN); LM⊥MN (⊥KL) (произведение коэффициентов при Х даёт (-1).
