Question

Вравнобокой трапеции длина боковой стороны 2d , длины оснований 5d и 7d. найдите углы трапеции. в параллелограмме abcd известно, что угол a=60 градусам, ab = 10, ad =16.найдите расстояния от вершин b и d до биссектрисы угла bcd. в ромбе abcd биссектриса угла dca перпендикулярна стороне ad.найдите углы ромба. внутри квадрата abcd выбрана точка m так, что треугольник amd равносторонний. найдите угол amb. биссектриса угла c параллелограмма abcd пересекает сторону ad в точке m и продолжение стороны ab за точку a в точке n.найдите периметр параллелограмма, если an=4, dm=3. все решеть не через синусы и !

Answer 1

1  В равнобокой трапеции ABCD: AB=CD= 2d, BC= 5d, AD= 7d. 
Проведем СК параллельно АВ, тогда АК=ВС=5, АВ=СК=2d, ΔCKD равносторонний CK=CD=KD=2d,  уголD=60°, угол А=углуD=60°, угол В=углуС=180°-60°=120°.
2  В параллелограмме биссектриса СР угла BCD образует равнобедренный треугольник PCD ($\angle1= \angle2=30к; \angle1= \angle3; \Rightarrow \angle2= \angle3=30к;$) $DH \perp CP$, $DH= \frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}*10=5$ как катет лежащий против угла 30 в треугольнике CHD.  
$BM \perp CP$, $BM= \frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}*16=8$ как катет лежащий против угла 30 в треугольнике BMC. 
3  В ромбе ABCD биссектриса CH угла DCA образует два равных прямоугольных треугольника ACH и DCH, при этом $\angle4= \angle3;\angle1: \angle3=1:2;$
$\angle1=30к;\angle3=60к;$ Тогда в ромбе $\angle A =\angle C=120к; \angle B =\angle D=60к;$
4  треугольник AMD равносторонний, $\angle MAD=60к;$, тогда 
$\angle MAB=30к;$ Треугольник BAM равнобедренный, АВ=АМ, тогда $\angle AMB= \frac{1}{2}(180-30)=75к;$
5  $\angle1= \angle2=; \angle1= \angle3; \Rightarrow \angle2= \angle3$, треугольник MCD равнобедренный, MD=CD=3,  $\angle3=\angle4$,  $\angle2=\angle5$, как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD, треугольник NAM равнобедренный, AM=AN=4.
Тогда ВС=AD=7, АВ=CD=3, периметр $P=2*(7+3)=20$.