Диагональ-высота делит парал-м на 2 прямоуг-х треуг-ка. Т.к. диаг-ль равна одной из сторн, треуг-ки прямоуг-е и равнобедренные. В прямоуг-м равнобедр-м треуг-ке углы при основании равны между собой и равны 45град. Т.е. один из углов парал-ма 45 град. Дальше можно решать исходя из внутренних односторонних углов при параллельных прямых (сумма равна 180, значит второй угол 180-45=135), а можно исходя из суммы углов паралл-ма (360-2*45)/2=135
Сделаем рисунок. АВ - общая касательная. IJ- отрезок, соединяющий центры. О - точка пересечения этого отрезка и касательной. IA - радиус большей окружности, JB - радиус меньшей окружности. Вариант решения 1) Как радиусы, проведенные в точку касания, IA и JB перпендикулярны касательной АВ. Прямоугольные треугольники OIA и OJB подобны по двум углам - прямому и вертикальному при О. Все стороны этих треугольников имеют коэффициент подобия k=m:n ⇒ IA:JB=m:n Ясно, что отношение диаметров данных окружностей равно отношению их радиусов, т.е. АС:ВD=m:n.
Вариант решения 2) СА ⊥АВ BD ⊥АВ ⇒ СА и BD- параллельны. Углы С и D равны как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей.. Углы при О равны, как вертикальные. Треугольники АСO и DBO подобны по трем углам. OI OJ- медианы этих треугольников. Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия. Следовательно, отношение диаметров данных окружностей ( гипотенуз треугольников) равно отношению их медиан, т.е. АС:ВD=m:n.
Сделаем рисунок. АВ - общая касательная. IJ- отрезок, соединяющий центры. О - точка пересечения этого отрезка и касательной. IA - радиус большей окружности, JB - радиус меньшей окружности. Вариант решения 1) Как радиусы, проведенные в точку касания, IA и JB перпендикулярны касательной АВ. Прямоугольные треугольники OIA и OJB подобны по двум углам - прямому и вертикальному при О. Все стороны этих треугольников имеют коэффициент подобия k=m:n ⇒ IA:JB=m:n Ясно, что отношение диаметров данных окружностей равно отношению их радиусов, т.е. АС:ВD=m:n.
Вариант решения 2) СА ⊥АВ BD ⊥АВ ⇒ СА и BD- параллельны. Углы С и D равны как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей.. Углы при О равны, как вертикальные. Треугольники АСO и DBO подобны по трем углам. OI OJ- медианы этих треугольников. Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия. Следовательно, отношение диаметров данных окружностей ( гипотенуз треугольников) равно отношению их медиан, т.е. АС:ВD=m:n.
