Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды dabc равен 120 градусов. расстояние то вершины в до ребра аd равно 16. найдите апофему пирамиды.
Высоту АН нужно провести на продолжение стороны ВС (иначе нельзя, т.к. угол В в треугольнике АВС тупой). Тогда образуется прямоугольный треугольник АНВ. В нём угол АНВ - прямой. Углы АВН и АВС (это угол В треугольника АВС) являются смежными и в сумме дают 180 градусов. Значит, угол АВН равен 45 градусов (т.к. угол АВС = 135 градусов по условию). Значит, треугольник АНВ - равнобедренный (так как третий угол в этом треугольнике тоже будет 45 градусов!). В этом треугольнике АВ - гипотенуза, а АН и НВ - катеты. Они равны. Примем любой из них за "х". По т. Пифагора: x^2 + x^2 = 12^2 2x^2 = 144 x^2 = 72 x = 6 корней из 2. Значит, АН равно 6 корней из 2
Высоту АН нужно провести на продолжение стороны ВС (иначе нельзя, т.к. угол В в треугольнике АВС тупой). Тогда образуется прямоугольный треугольник АНВ. В нём угол АНВ - прямой. Углы АВН и АВС (это угол В треугольника АВС) являются смежными и в сумме дают 180 градусов. Значит, угол АВН равен 45 градусов (т.к. угол АВС = 135 градусов по условию). Значит, треугольник АНВ - равнобедренный (так как третий угол в этом треугольнике тоже будет 45 градусов!). В этом треугольнике АВ - гипотенуза, а АН и НВ - катеты. Они равны. Примем любой из них за "х". По т. Пифагора: x^2 + x^2 = 12^2 2x^2 = 144 x^2 = 72 x = 6 корней из 2. Значит, АН равно 6 корней из 2
Проведем BK⊥DA. Тогда ВК = 16.
ΔВКА = ΔСКА по двум сторонам и углу между ними (ВА = СА, АК - общая, ∠КАВ = ∠КАС как углы равных треугольников) ⇒∠СКА = ∠ВКА = 90° ⇒
∠ВКС = 120° - линейный угол двугранного угла при боковом ребре пирамиды.
ΔВКС: по теореме косинусов:
CB² = CK² + BK² - 2CK·BK·cos120°
CB² = 2·256 + 2·256·1/2 = 3·256
CB = 16√3 - сторона основания
ΔКАВ: sin∠KAB = KB/AB = 16/(16√3) = 1/√3
Проведем DH⊥BC. DH - высота и медиана ⇒СН = СВ/2 = 8√3
∠DCB = ∠DAB ⇒
sin∠DCB = 1/√3
cos∠DCB =√(1 - sin²∠DCB) = √(1 - 1/3) = √(2/3)
tg∠DCB =1/√3 : √(2/3) = 1/√2
ΔDCH:
tg∠DCH = DH/CH
DH = CH · tg∠DCH = 8√3 ·1/√2 = 4√6