Question

Внутри угла acb=60 градусов взята точка m. известно, что ac=bc, am =корень из 2, bm =2, угол amc =15 градусов. найдите cm.

Answer 1

Так как не сказано что он лежит в треугольнике АВС . Треугольник АВС равносторонний так как угол С равен 60 гр, а стороны равны, тогда углы при оснований тоже равны по 60гр. 
Найдем углы ВАМ и МВА. 
Выведем такие соотношения, для  начало я обозначу стороны треугольников как х, а углы ВАМ и МВА $\alpha \ \beta$ . Тогда 
$\frac{2}{sin \alpha }=\frac{\sqrt{2}}{sin \beta }\\$
С одной стороны сторона СМ равна 
$CM^2=x^2+2-2\sqrt{2}xcos(60+a)$
с другой стороны  $CM^2=x^2+4-4xcos(60+ \beta )$ 
и по теореме косинусов сторона х равна 
$x=\sqrt{6-4\sqrt{2}*cos(a+b)}$
теперь перед началом всех преобразований , сделаем предварительные вычисления 
$cos(60+a)=0.5cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}sin \alpha \\ cos(60+b)=0.5cos \beta -\frac{\sqrt{3}}{2}sin \beta \\ cos(a+b)=cos \alpha *cos \beta -sin \alpha *sin \beta$

Теперь для простоты сделаем замену , еще одну 
$sinb=z$
тогда другие стороны равны 
$cosb=\sqrt{1-z^2}\\ sina=\frac{2z}{\sqrt{2}}\\ cosa=\sqrt{1-\frac{4z^2}{2}}$
Тогда сторона х запишется как 
$x=\sqrt{6-4\sqrt{2}*(\sqrt{1-\frac{4z^2}{2}}*\sqrt{1-z^2}-\frac{2z}{\sqrt{2}}*z)}$

Теперь все это подставим в уравнение где СМ, решим данное уравнение , получим что  $z= \frac{\sqrt{2}}{2}$
то есть  $\beta =45\\ \alpha =90$
тогда СМ равна $\sqrt{x^2+2-2\sqrt{2}*x*cos150}\\ x=\sqrt{6-4\sqrt{2}*cos135}=\sqrt{2}\\ CM=\sqrt{2+2+2\sqrt{2}*\sqrt{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{4+2\sqrt{3}}$