Основания - правильные треугольники. О₁ - центр верхнего основания (точка пересечения медиан (биссектрис, высот)), О - центр нижнего основания.
Пусть Н - середина В₁С₁, тогда О₁Н - радиус окружности, вписанной в треугольник А₁В₁С₁.
О₁Н = а√3/6 = 6√3/6 = √3 см
Пусть К - середина ВС, тогда ОК - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС:
ОК = 12√3/6 = 2√3 см.
ОО₁ - высота пирамиды, тогда
ОО₁⊥ВС и АК⊥ВС, т.е. ребро ВС перпендикулярно двум пересекающимся прямым плоскости АКН, значит
ВС⊥(АКН)
Тогда ВС⊥КН, ∠НКА = 30° и НК - апофема пирамиды.
Sбок = (P₁ + P₂) · HK, где P₁ и P₂ - периметры оснований.
Осталось найти НК.
ОО₁НК - прямоугольная трапеция. Проведем в ней высоту НТ.
ОО₁НТ - прямоугольник, ОТ = О₁Н = √3 см
ТК = ОК - ОТ = 2√3 - √3 = √3 см
ΔНТК: cos 30° = TK / HK
HK = TK / cos 30° = √3 / (√3/2) = 2 см
Sбок = (P₁ + P₂) · HK = (6 ·3 + 12 · 3) · 2 = (18 + 36) · 2 = 54 · 2 = 108 см²
Объяснение:
ABCA1B1C1 - призма
ABC - основание (AC=5; AB=12; BC=13
ACB1 - сечение
Основание АВС:
ВК - высота к АС
p = (5+12+13)\2 = 15 - полупериметр
По формуле Герона площадь АВС:
S (АВС) = V[15*(15-5)(15-12)(15-13)] = V(15*10*3*2) = V900 = 30 - площадь АВС
А по другой формуле площадь АВС:
S (ABC) = 1\2 * AC * BK ---> и из неё высота будет:
BK = 2*S (ABC) \ AC = 2*30 \ 5 = 12 - высота
Треугольник KBB1:
< KBB1 = 90 град; < BKB1 = 30 град. =>
BB1 = BK * tg BKB1 = BK * tg 30 = 12 * V3\3 = 4V3 - высота призмы
Объём призмы:
V = S (ABC) * BB1 = 30 * 4V3 = 120V3 - объем призмы.
