Возможны два варианта - либо сумма соседних сторон прямоугольника равна 40, либо сумма противоположных сторон равна 40.
Рассмотрим первый вариант. Пусть сумма соседних сторон прямоугольника равна 40. Нам известно, что периметр прямоугольника равен удвоенной сумме соседних сторон. Но тогда периметр нашего прямоугольника будет равен 40*2=80, что противоречит условию.
Тогда остаётся только второй вариант - сумма каких-то двух противоположных сторон прямоугольника равна 40. Так как противоположные стороны прямоугольника равны, каждая из них равна 40/2=20. Сумма двух других сторон прямоугольника будет равна 90-40=50. Эти две стороны также равны между собой, тогда каждая из них будет равна 50\2=25.
Таким образом, стороны прямоугольника равны 20 см и 25 см.
Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :) Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) ) Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC; то есть ∠BAC = ∠BA1C; Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому ∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK; следовательно ∠BAC = ∠BMK; и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.
Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.
Дополнение. Тривиальный решения тут такой. ∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C; BK = BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A); BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C); То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны. коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.
Рассмотрим первый вариант. Пусть сумма соседних сторон прямоугольника равна 40. Нам известно, что периметр прямоугольника равен удвоенной сумме соседних сторон. Но тогда периметр нашего прямоугольника будет равен 40*2=80, что противоречит условию.
Тогда остаётся только второй вариант - сумма каких-то двух противоположных сторон прямоугольника равна 40. Так как противоположные стороны прямоугольника равны, каждая из них равна 40/2=20. Сумма двух других сторон прямоугольника будет равна 90-40=50. Эти две стороны также равны между собой, тогда каждая из них будет равна 50\2=25.
Таким образом, стороны прямоугольника равны 20 см и 25 см.