Пусть данный катет АС, угол - А
На произвольной прямой m отложим отрезок, равный длине катета АС.
Обозначим его концы А и С.
На сторонах заданного угла А циркулем радиуса=АС с центром в т.А сделаем насечки. Обозначим их О и М.
Соединим О и М.
Из т. А построенного на m катета проведем тем же раствором циркуля полуокружность.
Циркулем измерим ОМ и из т.С отложим полуокружность до пересечения с первой в т.К.
АС=АМ, АК=АО, отрезок СК равен отрезку ОМ, ⇒ ∆ АКС=∆ АОМ. Следовательно, угол КАС равен заданному.
Катет и прилежащий к нему угол построены.
На равном расстоянии по обе стороны от С отметим на прямой m т.1 и т.2.
Из этих точек, как из центров, начертим полуокружности так, чтобы они пересеклись по обе стороны от прямой m.
Точки пересечения соединим. Построен перпендикуляр к прямой m через т. С ( это стандартный построения перпендикуляра, и он наверняка Вам знаком).
Точку пересечения перпендикуляра с другой стороной угла А обозначим В.
Искомый треугольник АВС по катету АС и прилежащему углу А построен.
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 45°. Отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды с серединой бокового ребра, равен 3 см. Найдите: а) боковое ребро пирамиды ; б) боковую поверхность пирамиды. - - - - - - -
Дано :
Правильная пирамида PABC ( P -вершина пирамиды ) ; PO ⊥ (ABC) ( О - центр ΔABC ) ;
PM= BM , PN = ON , MN = 3 см ;
∠PAO =∠PBO=∠PCO =45° . PAO =∠PBO=∠PCO - - - - - - - а) PA =PB=PC - ? б) S бок - ?
ответ : а) 6√2 см , б) 27√15 (см³ )
Объяснение: * * * Пирамида правильная , значит ее основание правильный многоугольник (в данном случае равносторонний треугольник) и ее высота проходит через центр основания. * * *
Для удобства обозначаем AB =BC = CA = a . Продолжаем BO , получаем точку H ∈ [AC] и эту точку соединяем с вершиной пирамиды P , PH _ апофема .
ВО = (2/3)*BH =(2/3)*(a√3)/2 = a√3 / 3 || = a / √3 || || ВО = R ( радиус окружности описанной около равностороннего треугольника ABC ) ||
С другой стороны ВО = 2*MN =2*3 см = 6 см (в ΔPOB MN средняя линия → MN =BO/2 , MN || BO ) . Прямоугольный ΔPOB еще и равнобедренный , т.к. по условию задачи ∠PBO= 45° .
PO = ВО ; PB =ВО√2 = 6√2 см || PB = √(PO² + ВО²) || - - -
б) S бок - ?
S бок =3*S(ΔABC) =3*(a*PH /2) = 3a*PH /2 || 3a -периметр основания ||
Апофема PH определим из ΔPOH по теореме Пифагора :
PH =√ (PO²+ОH²) =√ ( ВО² + (ВО/2)² ) = (ВО√5)/2 =(6√5)/2 см =3√5 см.
S бок =3*6√3) *3√5 /2 = 27√15 (см³ )
* * * OH - радиус вписанной в треугольник окружности * * *
* * * PH еще можно определить из определенного ΔPAH * * *
рисунок : см приложение